Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir beschreiben hier das benutzte Verfahren zum Lösen eines LGS. Das Verfahren wird nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß auch Gauß-Verfahren oder Gaußsches-Eliminationsverfahren genannt.
Die Grundidee des Gauß-Verfahrens beschreiben
Beim Gauß-Verfahren geht man folgendermaßen vor:
Gauß-Verfahren
Man löst ein vorgegebenes LGS in Rechteckform, indem man es mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in ein LGS in Stufenform umzuwandelt. In der Stufenform verringert sich die Anzahl der Variablen zeilenweise um mindestens eins. Das LGS in Stufenform lässt sich dann schrittweise nach den verbliebenen Variablen rückwärts auflösen.
Phase 1: Ein LGS in Stufenform umwandeln
| vorgegebenes LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [2] &\quad 3x_1 & + & 6x_2 & + & (-3)x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad 4x_1 & + & (-4)x_2 & + & (-6)x_3 & = & 8 \end{array}$ |
| Äquivalenzumformungen | $\dots$ |
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ |
Phase 2: Die Gleichungen des LGS in Stufenform nach den Variablen auflösen
| LGS in Stufenform | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & (-1)x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad & & 12x_2 & + & 4x_3 & = & -4 \\ [3] &\quad & & & & 2x_3 & = & 4 \end{array}$ |
| Umformungen | rückwärts auflösen |
| Lösung des LGS | $\begin{array}{lrcrcrcr} [3] &\quad & x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad & x_2 & = & -1 \\ [1] &\quad & x_1 & = & 4 \\ \end{array}$ |
Die Umformungsschritte genauer analysieren
Wenn man ein LGS beim Lösen umformt, dann darf sich die Lösungsmenge dabei nicht verändern. Umformungsschritte, die diese Bedingung erfüllen, nennt man Äquivalenzumformungen.
Äquivalenzumformungen eines LGS
Beim Umwandeln eines LGS sind u.a. folgende Äquivalenzumformungen erlaubt:
- zu einer Gleichung eine andere Gleichung hinzuaddieren
- eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren
- eine Gleichung mit einer anderen vertauschen
- zu einer Gleichung eine andere Gleichung multipliziert mit einer reellen Zahl ungleich 0 hinzuaddieren
Aufgabe 1
(a) Welche dieser Äquivalenzumformungen kommen im Beispiel oben vor?
(b) Begründe, warum man eine Gleichung nicht mit der Zahl 0 multiplizieren darf.
(c) Begründe, warum sich die Lösungsmenge nicht ändert, wenn man eine Gleichung zu einer anderen hinzuaddiert.
(d) Erläutere: Die letzte der oben genannten Umformungsregeln könnte man auch weglassen.
(e) Wäre auch das eine erlaubte Äquivalenzumformung: eine Gleichung von einer anderen subtrahieren? Begründe kurz.
Das Gauß-Verfahren automatisieren
Das Gauß-Verfahren lässt sich so automatisieren, dass es von einem Rechner durchgeführt werden kann.
Aufgabe 2
Skizziere ein systematisches Vorgehen zum Lösen eines LGS.
