Übungen - Lösungsmengen eines LGS
Aufgabe 1
Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren. Nutze bei Bedarf das LGS-Umformungstool unten.
(a)
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & & & & 4x_3 & = & 6 \\ [2] &\quad 3x_1 & + & x_2 & + & 8x_3 & = & 10 \\ [3] &\quad 4x_1 & - & 2x_2 & + & 4x_3 & = & 10 \end{array}$
(b)
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & 3x_2 & + & 4x_3 & = & 8 \\ [3] &\quad -2x_1 & + & 7x_2 & - & 12x_3 & = & 11 \end{array}$
(c)
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 4 \\ [2] &\quad x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & 5 \\ [3] &\quad 2x_1 & + & 6x_2 & + & 8x_3 & = & 6 \end{array}$
(d)
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 4 \\ [2] &\quad 2x_1 & + & 5x_2 & + & 7x_3 & = & 7 \\ [3] &\quad x_1 & + & 6x_2 & + & 7x_3 & = & 1 \end{array}$
Aufgabe 2
(a) Im folgenden LGS erhält man die Gleichung $[2]$, indem man die Gleichung $[1]$ mit $2$ multipliziert. Erläutere die Konsequenzen, die das beim Lösen des LGS mit dem Gauß-Verfahren hat.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & + & x_2 & - & 4x_3 & = & 2 \\ [2] &\quad 4x_1 & + & 2x_2 & - & 8x_3 & = & 4 \\ [3] &\quad 4x_1 & + & 3x_2 & + & 7x_3 & = & 1 \end{array}$
(b)
K. behauptet: Wenn man in einem LGS mit $3$ Gleichungen und $3$ Variablen die Gleichung $[2]$ erhält,
indem man die Gleichung $[1]$ mit $2$ multipliziert, dann hat das LGS unendlich viele Lösungen.
R. entgegnet: Das stimmt so nicht.
Wer von beiden hat recht? Begründe.
Aufgabe 3
(a) Entwickle ein LGS (in Stufenform / in Rechteckform) mit folgenden Lösungen: $(x_1; x_2; x_3) = (x_3+1; 2x_3; x_3)$ mit einer beliebigen reellen Zahl $x_3$.
(b) Entwickle ein LGS (in Stufenform / in Rechteckform) mit folgenden Lösungen: $(x_1; x_2; x_3) = (x_2 - x_3; x_2; x_3)$ mit beliebigen reellen Zahlen $x_2$ und $x_3$.
Aufgabe 4
Ergänze das LGS so, dass es keine bzw. unendlich viele Lösungen hat. Begründe kurz die Wahl deiner Zahlen.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2x_1 & + & x_2 & - & 4x_3 & = & 5 \\ [2] &\quad 4x_1 & + & 2x_2 & - & 8x_3 & = & \dots \\ [3] &\quad -2x_1 & - & x_2 & + & 4x_3 & = & \dots \end{array}$
