Einstieg
Zur Orientierung
Im letzten Kapitel wurden die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe einer geometrischen Deutung der Gleichungen bestimmt. Hier werden die Lösungsmengen ausgehend vom Gauß-Verfahren entwickelt.
Situationen beim Gauß-Verfahren analysieren
Betrachte noch einmal die linearen Gleichungssysteme in der Übersicht. Mit dem Gauß-Verfahren werden sie in eine Stufenform transformiert.
| Beispiel 1 | Beispiel 2 | Beispiel 3 |
|---|---|---|
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad -x & + & 2y & = & 1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad -x & + & y & = & 1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad -x & + & y & = & -1 \end{array}$ |
| $[2] \leftarrow [2] + [1]$ | $[2] \leftarrow [2] + [1]$ | $[2] \leftarrow [2] + [1]$ |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad && y & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad && 0 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad && 0 & = & 0 \end{array}$ |
Es ergeben sich verschiedene Situationen:
Beispiel 1: Es gibt genau eine Lösung: $(x; y) = (3; 2)$.
Beispiel 2: Es gibt keine Lösungen.
Beispiel 3: Es gibt unendlich viele Lösungen: alle Tupel $(x; y)$ mit $x = y+1$ und einer beliebigen reellen Zahl $y$.
Aufgabe 1
Begründe die Aussagen zu den Lösungen.
