Erarbeitung
Zielsetzung
Bei der Durchführung des Gauß-Verfahrens treten manchmal Sonderfälle auf. Ziel ist es, diese Sonderfälle genauer zu analysieren und die Lösungen der betreffenden linearen Gleichungssysteme zu bestimmen. Wir betrachten hier zunächst lineare Gleichungssysteme mit $2$ Gleichungen und $2$ Variablen.
Lösungsmengen veranschaulichen
Das GeoGebra-Applet verdeutlicht, wie man die Lösungen eines LGS mit $2$ Gleichungen und $2$ Variablen veranschaulicht.
Zum Herunterladen: lgs_visualisierung_22.ggb
Aufgabe 1
(a) Begründe: Die Gleichungen $[1]$ und $[2]$ kann man als Geradengleichungen deuten. Stelle sie zur Begründung in die Form $y = \dots$ um.
(b) Erkläre, wie man geometrisch die Lösungen des LGS bestehend aus den Gleichungen $[1]$ und $[2]$ erhält. Deute die im Applet angegebene Lösungsmenge und überprüfe sie mit einer Probe.
Aufgabe 2
(a) Betrachte jetzt die Gleichungssysteme in Beispiel 2 und Beispiel 3. Bestimme mit dem Applet oben jeweils die Lösungsmengen. Deute die Ergebnisse, die das Applet liefert.
| Beispiel 1 | Beispiel 2 | Beispiel 3 |
|---|---|---|
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad -x & + & 2y & = & 1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad -x & + & y & = & 1 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad -x & + & y & = & -1 \end{array}$ |
| $[2] \leftarrow [2] + [1]$ | $[2] \leftarrow [2] + [1]$ | $[2] \leftarrow [2] + [1]$ |
| $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad && y & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad && 0 & = & 2 \end{array}$ | $\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x & - & y & = & 1 \\ [2] &\quad && 0 & = & 0 \end{array}$ |
(b) Deute jetzt auch die Ergebnisse, die das Gauß-Verfahren bei den beiden Gleichungssystemen liefert. Stelle den Zusammenhang zu den Ergebnissen her, die das Applet bei den beiden Gleichungssystemen liefert.
Aufgabe 3
Wie viele Lösungen kann ein LGS mit $2$ Gleichungen und $2$ Variablen haben? Formuliere einen zusammenfassenden Satz.
Lösungsmengen eine LGS mit $2$ Gleichungen und $2$ Variablen
Ein LGS mit $2$ Gleichungen und $2$ Variablen ...
