Modellierung

Die Ausgangsverteilung festlegen

Wir verwenden die vereinfachte Klasseneinteilung in drei Altersklassen und die Daten aus der Tabelle des Statistischen Bundesamtes.

Schritt	J $0-19$ [in Mill.]	E $20-66$ [in Mill.]	A $67+$ [in Mill.]
$0$	$17.0$	$50.8$	$15.4$

Aufgabe 1

Die Ausgangsverteilung bezieht sich auf das Jahr 2025 (genauer: ...). Wir erfassen diese Ausgangsverteilung im Schritt $0$ (weil hier noch kein Berechnungsschritt erfolgt).

(a) Berechne die Gesamtpopulation zu Beginn des Entwicklungsprozesses.

(b) Berechne die prozentualen Anteile der Altersklassen an der Gesamtpopulation zu Beginn des Entwicklungsprozesses. Vergleiche mit den Ergebnissen in der Tabelle des Statistischen Bundesamtes.

Sterbefälle berücksichtigen

Wenn man die Altersverteilung in einem Folgejahr berechnen will, muss man die Sterbefälle pro Jahr berücksichtigen. Mit einer Online-Recherche (mit dem KI-Tool ChatGPT) erhält man folgende Daten zu den Sterbefällen in Deutschland:

Altersklasse	Sterbefälle 2025	Sterberate	Überlebensrate
J	ca. $5000$	ca. $0.0003 = 0.03\%$	ca. $0.9997 = 99.97\%$
E	ca. $200000$	ca. $0.004 = 0.4\%$	ca. $0.996 = 99.6\%$
A	ca. $800000$	ca. $=$ $\%$	ca. $=$ $\%$

Aufgabe 2

(a) Erkläre, wie man aus den Sterbefällen (im Jahr 2025) die Sterberaten und die Überlebensraten berechnet.

(b) Bestimme die noch fehlende Sterbe- und Überlebensrate für die Altersklasse A der alten Menschen (gerundet auf $3$ Nachkommastellen).

(c) In Deutschland gab es im Jahr 2025 ca. 1 Million Sterbefälle. Überprüfe, ob die (von ChatGPT gelieferten) Daten in der Tabelle zu diesem Wert passen.

Übergangsraten bestimmen

Wenn eine junge Person $19$ Jahre alt ist, dann wechselt sie in einen Simulationsschritt in die Altersklasse der erwachsenen Personen. Wenn sie dagegen weniger als $19$ Jahre alt ist, dann verbleibt sie in einen Simulationsschritt in die Altersklasse der jungen Personen. Das muss man berücksichtigen, wenn man die Übergangsraten von der Klasse der jungen Personen in die Klasse der erwachsenen bzw. jungen Personen bestimmt. In der folgenden Tabelle sind die Berechnungen zu den Übergangsraten bereits vorgegeben.

Altersklassenübergang	Berechnung	Übergangsrate
J $\rightarrow$ E	$0.9997 \cdot \frac{1}{20}$	$= 0.049985 \approx 0.05$
J $\rightarrow$ J	$0.9997 \cdot \frac{19}{20}$	$= 0.949715 \approx 0.9497$
E $\rightarrow$ A	$0.996 \cdot \frac{1}{47}$	$\approx 0.0212$
E $\rightarrow$ E	$0.996 \cdot \frac{46}{47}$	$\approx 0.9748$
A $\rightarrow$ A	$0.948$	$= 0.948$

Aufgabe 3

(a) Erkläre, warum man die Überlebensrate $0.9997$ der jungen Menschen mit $\frac{1}{20}$ multipliziert, um die Übergangsrate für den Altersklassenübergang J $\rightarrow$ E abzuschätzen. Erläutere auch, welche vereinfachende Annahme man bei dieser Berechnung macht.

(b) Erkläre entsprechend, warum man die Überlebensrate $0.9997$ der jungen Menschen mit $\frac{19}{20}$ multipliziert, um die Übergangsrate für den Altersklassenübergang J $\rightarrow$ J abzuschätzen.

(c) Erkläre, warum man bei den Übergangsraten zu den Klassenübergängen E $\rightarrow$ A und E $\rightarrow$ E Bruchzahlen mit dem Nenner $47$ verwendet.

(d) Erkläre, warum man für den Klassenübergängen A $\rightarrow$ A direkt die Überlebensrate für alte Menschen verwenden kann.

Geburtenfälle berücksichtigen

Bei der Berechnung von Altersverteilungen muss man auch berücksichtigen, dass in einem Simulationsschritt Babys neu geboren werden. Wir gehen hier vereinfachend davon aus, dass nur erwachsene Frauen Kinder bekommen.

In Deutschland wurden 2025 ca. $654000$ Kinder geboren. Das ergibt eine Geburtenrate pro Erwachsener pro Jahr von $\frac{0.654}{50.8} \approx 0.013$.

Aufgabe 4

(a) Wir verwenden in unserem Berechnungsverfahren für die Entwicklung des Altersaufbaus in allen Simulationsschritten eine Geburtenrate pro Erwachsener pro Jahr von $0.013$. Erläutere, welche grobe Vereinfachung hier vorgenommen wird und welche Ungenauigkeiten sich hierdurch ergeben können.

Das Berechnungsmodell grafisch darstellen

Sämtliche Übergegungen und Daten lassen sich in einem Übergangsgraphen darstellen.

Aufgabe 5

(a) Die Knoten des Graphen sind mit J, E und A beschriftet. erläutere, wofür diese Knoten stehen.

(b) Die Verbindungen zwischen Knoten werden auch Kanten des Graphen genannt. Erkläre möglichst genau, was die einzelnen Kanten beschreiben.

Das Berechnungsmodell verwenden

Mit dem Berechnungsmodell lässt sich jetzt die Altersverteilung nach einem Simulationsschritt berechnen. Beachte, dass ein Simulationsschritt einem Jahr entspricht.

Schritt	J [in Mill.]	E [in Mill.]	A [in Mill.]
$0$	$17.0$	$50.8$	$15.4$
$1$		$50.37$

Aufgabe 6

(a) Der Wert für die erwachsenen Personen nach einem Simulationsschritt ist bereits vorgegeben. Erkläre mit einer Rechnung, wie man zu diesem Wert gelangt.

(b) Berechne auch die Werte für die jungen und alten Personen nach einem Simulationsschritt. Trage sie (gerundet auf zwei Nachkommastellen) in die Eingabefelder ein. Du erhältst dann direkt eine Rückmeldung, ob du richtig gerechnet hast. Zur Kontrolle: Die Gesamtanzahl beträgt ca. $82.86$ Millionen.

Daten erheben

Die Modellierung verwendet Daten ...