Übungen – Varianz und Standardabweichung

Aufgabe 1: Häufigkeitsverteilungen vergleichen

Bei einem Test konnten Lernende $0$ bis $5$ Punkte erzielen. Der Test wurde in den Klassen A und B durchgeführt. Hier die Ergebnisse in den beiden Klassen:

Klasse A:

$a$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$H(a)$	$0$	$0$	$6$	$12$	$6$	$0$

Klasse B:

$a$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$H(a)$	$3$	$9$	$3$	$0$	$0$	$15$

(a) In welcher Klasse ist der Test besser ausgefallen? Vergleiche hierzu die mittlere erreichte Punktzahl der beiden Klassen.

(b) Berechne die Standardabweichung für beide Häufigkeitsverteilungen. Deute die Ergebnisse im betrachteten Kontext.

Aufgabe 2: Datenwerte verändern

Betrachte die folgende Datenreihe:

4; 7; 7; 8; 9; 10; 10; 10; 15; 20

(a) In der Datenreihe wird der kleinste Wert $4$ auf $2$ verringert und der größte Datenwert $20$ auf $22$ erhöht. Wie verändert sich hierdurch der Mittelwert und die Standardabweichung der Datenreihe? Begründe (ohne und mit einer Rechnung).

(b) In der Datenreihe wird jeder Wert um $1$ erhöht. Wie verändert sich hierdurch der Mittelwert und die Standardabweichung der Datenreihe? Begründe (ohne und mit einer Rechnung).

(c) In der Datenreihe wird jeder Wert verdoppelt. Wie verändert sich hierdurch der Mittelwert und die Standardabweichung der Datenreihe? Begründe (ohne und mit einer Rechnung).

Aufgabe 3: Erwartungswert und Standardabweichung bei Zufallsgrößen

(a) Jemand behauptet: Wenn zwei Zufallsgrößen denselben Erwartungswert haben, dann streuen sie auch gleich stark.

Widerlege diese Behauptung, indem du zwei (möglichst einfache) Zufallsgrößen konstruierst, die die behauptete Eigenschaft nicht haben.

(b) Jemand anderes behauptet: Wenn zwei Zufallsgrößen gleich stark streuen, dann haben sie auch denselben Erwartungswert.

Stimmt diese Behauptung? Begründe.

Aufgabe 4: Spielvarianten untersuchen

Hier geht es um einfache Spiele mit Spielmünzen.

Münzwurf – Variante 1	Münzwurf – Variante 2
Wirf zwei (faire) Münzen. Zähle, wie oft die Münze mit Kopf oben fällt. 0 Treffer: Du musst eine Münze abgeben. 1 Treffer: Du kannst deine Münzen behalten. 2 Treffer: Du erhältst eine weitere Münze.	Wirf zwei (faire) Münzen. Zähle, wie oft die Münze mit Kopf oben fällt. 0 Treffer: Du musst eine Münze abgeben. 1 Treffer: Du musst eine Münze abgeben. 2 Treffer: Du erhältst drei weitere Münzen.

(a) Untersuche zunächst, ob die beiden Spiele aus Sicht einer Spielerin / eines Spielers langfristig günstig oder ungünstig sind.

(b) Welches Spiel ist riskanter? Begründe inhaltlich und rechnerisch (mit der Streuung von Zufallsgrößen).