Einstieg
Eine neue Schreibweise für lokale Änderungsraten einführen
Im letzten Kapitel haben wir lokale Änderungsraten bei Bestandsentwicklungen betrachtet: Eine lokale Änderungsrate beschreibt die momentane Änderungsgeschwindigkeit des Bestandes. Sie bezieht sich auf einen bestimmten Bestandszustand bzw. auf den zugehörigen $x$-Wert.
Um die lokale Änderungsrate an einer bestimmten Stelle experimentell zu bestimmen, nutzt man ein Ännäherungsverfahren. Man wählt immer kleinere Intervalle um die betrachtete Stelle und bestimmt für diese Intervalle die mittlere Änderungsrate. Bei den meisten Bestandsfunktionen erhält man auf diese Weise einen Wert für die momentane Änderungsrate, da die Näherungswerte sich bei einer festen Zahl stabilisieren.
Zum Herunterladen: lokale_aenderungsrate1.ggb
Wir verwenden das Verfahren zur Bestimmung von lokalen Änderungsraten jetzt bei beliebigen Funktionen. Zusätzlich führen wir eine neue Sprech- und Schreibweise für die lokale Änderungsrate einer Funktion ein.
Ableitung einer Funktion an einer Stelle
Mit $f'(x_0)$ bezeichnet man die lokale Änderungsrate der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$. Die Zahl $f'(x_0)$ nennt man auch Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$. Gelesen wird $f'(x_0)$ so: "$f$ Strich von $x_0$" oder "Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$".
$\begin{array}{lcl} m(x_0, x_0+h) & = & \quad\enspace\, \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad f'(x_0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}} \end{array}$
Die Ableitung $f'(x_0)$ erhält man durch einen Grenzprozess, bei dem man die mittlere Änderungsrate $m(x_0, x_0+h)$ für immer kleinere Schrittweiten $h$ betrachtet.
Für solche Grenzprozesse nutzt man in der Mathematik die Limes-Schreibweise:
$f'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}}$
Diese Schreibweise bedeutet:
Die Ableitung $f'(x_0)$ ist der Grenzwert ("Limes"), den man erhält, wenn man für die mittlere Änderungsrate $\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}$ die Schrittweite $h$ gegen $0$ gehen lässt.
Das Ziel klären
Wenn die Funktion $f$ eine Bestandsentwicklung für eine vorgegebene Größe (wie z.B. eine Populationsanzahl) beschreibt, dann beschreibt die Ableitung $f'(x_0)$ als lokale Änderungsgeschwindigkeit an der Stelle $x_0$. Für die weitere Verwendung ist es günstig, wenn man zusätzlich über eine anschauliche Vorstellung zur Ableitung $f'(x_0)$ verfügt.
