Zusammenfassung - Der Ableitungsbegriff
Die Grundidee
Mit der Ableitung $f'(x_0)$ einer Funktion $f$ beschreibt man die lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle $x_0$.
Anleitung für das Applet
- Im Applet kann man die Funktion selbst festlegen. Hierzu gibt man den Funktionsterm im entsprechenden Eingabefenster ein.
- Die betrachtete Stelle $x_0$ kann man ebenfalls mit einer geeigneten Eingabe selbst festlegen.
- Die Schrittweite $h$ wird mit dem Schieberegler eingestellt. Beachte, dass man positive und auch negative Schrittweiten wählen kann.
- Mit Hilfe der Stelle $x_0$ und der Schrittweite $h$ werden die beiden Punkte $P(x_0|f(x_0))$ und $Q(x_0+h|f(x_0+h))$ auf Graph $f$ festgelegt.
- Angezeigt wird die Sekante $s$ durch die beiden Punkte $P$ und $Q$. Die Steigung dieser Sekante entspricht der mittleren Änderungsrate $m(x_0, x_0+h)$.
Zum Herunterladen: ableitung1.ggb
Beispiel
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ und die Stelle $x_0 = 0.5$.
$f'(0.5)$ erhält man, indem man die mittlere Änderungsrate $m(x_0, x_0 + h) = \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}$ bestimmt - und das für immer kleinere Schrittweiten $h$, die sich der $0$ annähern.
Für $h = 0.1$ erhält man $m(x_0, x_0 + h) = 1.1$, für $h = 0.01$ ergibt sich $m(x_0, x_0 + h) = 1.01$. Es liegt die Vermutung nahe, dass man mit immer kleineren $h$-Werten schließlich $f'(0.5) = 1$ erhält.
Eine mathematische Beschreibung dieses Grenzprozesses
Die Ableitung lässt sich wie folgt mathematisch präzisieren.
Ableitung einer Funktion an einer Stelle
Mit $f'(x_0)$ bezeichnet man die lokale Änderungsrate der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ (aus der Definitionsmenge von $f$). Die Zahl $f'(x_0)$ nennt man auch Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$. Gelesen wird $f'(x_0)$ so: "$f$ Strich von $x_0$" oder "Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$".
$\begin{array}{lcl} m(x_0, x_0+h) & = & \quad\enspace\, \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad f'(x_0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}} \end{array}$
Die Ableitung $f'(x_0)$ erhält man durch einen Grenzprozess für die mittlere Änderungsrate $m(x_0, x_0+h)$, bei dem die Schrittweite $h$ gegen $0$ geht.
Für solche Grenzprozesse nutzt man in der Mathematik die Limes-Schreibweise:
$f'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}}$
Diese Schreibweise bedeutet:
Die Ableitung $f'(x_0)$ ist der Grenzwert ("Limes"), den man erhält, wenn man für die mittlere Änderungsrate $\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}$ die Schrittweite $h$ gegen $0$ gehen lässt.
Geometrische Deutung der Ableitung
Die Ableitung $f'(x_0)$ beschreibt die lokale Änderungsrate der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$. Man erhält sie als Grenzwert von mittleren Änderungsraten, wenn die Schrittweite gegen $0$ geht.
Die mittleren Änderungsraten kann man geometrisch als Steigungen von Sekanten deuten. Im Applet oben sind diese Sekanten als grün gestrichelte Geraden dargestellt.
Wenn man die Schrittweite $h$ gegen $0$ gehen lässt, dann stabilisieren sich die Sekantensteigungen und liefern einen Zahl, die wir als Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle $x_0$ (bzw. dem zugehörigen Punkt $P(x_0|f(x_0))$) ansehen können. Diese Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$ ist im Applet mit einem blauen Geradenstück angedeutet.
| Grenzprozess | inhaltliche Deutung | geometrische Deutung |
|---|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & & \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \\ f'(x_0) & & \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} \\ \downarrow & \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & \\ \text{lokale Änderungsrate} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{Steigung der Sekante durch P und Q} \\ \downarrow & Q \rightarrow P & \\ \text{Steigung des Graphen im Punkt P} \end{array}$ |
Wir nutzen also denselben Grenzprozess, um die Ableitung einer Funktion an einer Stelle bzw. die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt zu bestimmen.
Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt $P$ des Funktionsgraphen erhält man als Grenzwert von Sekantensteigungen, wenn der Punkt $Q$, der zusammen mit Punkt $P$ die Sekante festlegt, sich immer mehr dem Punkt $P$ nähert.
Es ergibt sich folgende geometrische Deutung der Ableitung.
Geometrische Deutung der Ableitung
Die Ableitung $f'(x_0)$ beschreibt geometrisch die Steigung von Graph $f$ an der Stelle $x_0$ bzw. im Punkt $P(x_0|f(x_0))$.
Tangenten an einen Funktionsgraphen
Wenn man im Applet oben die Schrittweite $h = 0$ einstellt, dann fällt Punkt $Q$ genau auf Punkt $P$. Die beiden Punkte legen dann keine Sekante mehr fest.
Statt der Sekante erscheint im Applet im Grenzfall $h = 0$ eine (blau eingefärbte) Gerade $t$. Diese Gerade $t$ hat die Steigung $f'(x_0)$ – also dieselbe Steigung wie Graph $f$ im Punkt $P$. Sie berührt Graph $f$ im Punkt $P$ und wird daher als Tangente an Graph $f$ angesehen.
Tangente an einen Funktionsgraphen
Die Tangente an einen Funktionsgraphen durch den Punkt $P$ des Funktionsgraphen ist die Gerade, die dieselbe Steigung wie der Funktionsgraph im Punkt $P$ hat.
Man kann die Ableitung also auch wie folgt geometrisch deuten.
Geometrische Deutung der Ableitung
Die Ableitung $f'(x_0)$ beschreibt geometrisch die Steigung der Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P(x_0|f(x_0))$.
Die Übersicht verdeutlicht auch diesen Zusammenhang.
| Grenzprozess | inhaltliche Deutung | geometrische Deutung |
|---|---|---|
| $\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & & \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \\ f'(x_0) & & \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{mittlere Änderungsrate} \\ \downarrow & \text{Schrittweite} \rightarrow 0 & \\ \text{lokale Änderungsrate} \end{array}$ | $\begin{array}{ccl} \text{Steigung der Sekante durch P und Q} \\ \downarrow & Q \rightarrow P & \\ \text{Steigung der Tangente an Graph $f$} \\ \text{durch den Punkt P} \end{array}$ |
