Ableitung und Steigung in einem Punkt
Aufgabe 1
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - 2x^2$.
Zum Herunterladen: ableitung4.ggb
(a) Welche Ableitungswerte sind plausibel, welche eher nicht? Begründe mit Hilfe des Funktionsgraphen.
- $f'(0) = 0$
- $f'(0.5) = 1$
- $f'(1) = -1$
- $f'(-1) = -1$
- $f'(1.5) = 8$
- $f'(-0.5) = 1$
(b) Schätze die Ableitungen jeweils mit Hilfe der mittleren Änderungsrate zu einem kleinen $h$-Wert ab. Dokumentiere die Rechnungen (so wie angedeutet). Überprüfe die Ergebnisse im Applet.
- ges.: $f'(-1)$
Für $h = 0.01$ erhält man $m(-1,-1 + 0.01) = \displaystyle{\frac{f(-0.99)-f(-1)}{0.01}} \approx ...$. Also $f'(-1) \approx ...$. - ges.: $f'(-0.5)$
- ges.: $f'(0)$
- ges.: $f'(0.5)$
- ges.: $f'(1)$
- ges.: $f'(1.5)$
Aufgabe 2
Hier kannst du in den Graph reinzoomen und ihn bei Bedarf verschieben, um die Steigung eines Graphen in einem Punkt zu bestimmen.
Zum Herunterladen: steigung_eines_graphen.ggb
(a) Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x}}$ und den Punkt $P(1|1)$. Ermittle mit Hilfe des Applets experimentell die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P$.
(b) Betrachte weiterhin die Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x}}$. Variiere den Punkt $P$ (mindestens 4-mal) und ermittle jeweils die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P$. Dokumentiere die Ergebnisse.
