Strukturierung - Differenzierbarkeit

Einstieg - Orientierung

Im Kapitel Ableitung an einer Stelle wurde ein Verfahren entwickelt, mit denen man die Ableitung $f'(x_0)$ bestimmen kann. Hier geht es jetzt um Grenzfälle, bei dem dieses Verfahren zu keinem sinnvollen Ergebnis führen.

Erarbeitung - eine Funktion mit einem Knick im Graphen untersuchen

Wir knüpfen an die Untersuchungen zum Fallschirmsprung an und betrachten eine Ausgangsfunktion, die analog zur Zeit-Weg-Funktion eines Fallschirmsprungs aufgebaut ist und einen Knick im Funktionsgraphen aufweist. Genau dieser Knickpunkt soll jetzt genauer untersucht werden.

Anleitung für das Applet

• Vorgegeben ist eine Funktion $f$ und eine Stelle $x_0$. Diese Vorgaben kann man abändern, indem man andere Einträge in den entsprechenden Eingabefeldern macht.
• Passend zur Stelle $x_0$ ist der Punkt $P$ auf Graph $f$ hervorgehoben. Dieser Punkt befindet sich genau auf dem Knick.
• Mit dem Schieberegler $h$ kann man einen weiteren Punkt $Q$ auf dem Funktionsgraphen einstellen. Beide Punkte – $P$ und $Q$ – legen eine (grün dargestellte) Sekante fest. Die Steigung dieser Sekante wird jeweils angezeigt.
• Das blau dargestellte Geradenstück soll dazu diesen, die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P$ zu veranschaulichen – wenn das denn hier möglich ist. Dieses Geradenstück kann man mit dem Ankerpunkt selbst ausrichten.

Zum Herunterladen: ableitung2.ggb

Aufgabe 1

(a) Betrachte zunächst positive $h$-Werte. Welchen Grenzwert erhält man für $m(x_0, x_0+h)$, wenn man $h$ gegen $0$ gehen lässt? Erläutere und erkläre anhand des Applets.

(b) Betrachte jetzt $h$-Werte. Welchen Grenzwert erhält man dann für $m(x_0, x_0+h)$, wenn man $h$ gegen $0$ gehen lässt? Erläutere und erkläre auch hier anhand des Applets.

(c) Erläutere die Schwierigkeit, die sich ergibt, wenn man abschließend das blaue Geradenstück so ausrichten will, dass es die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P$ widerspiegelt.

Aufgabe 2

Mit dem folgenden Applet kannst du den Knick im Funktionsgraphen genauer untersuchen. Vergrößere mit der [+]-Taste den Ausschnitt um den Punkt $P$ immer weiter. Macht es Sinn, dem Punkt $P$ eine Steigung zuzuordnen? Beschreibe, was du beobachtst.

Zum Herunterladen: funktionenmikroskop2.ggb

Vertiefung - einen neuen Begriff einführen

Ein Knick im Funktionsgraph führt dazu, dass man die Steigung der Funktion in diesem Punkt – und somit auch die Ableitung an der zugehörigen Stelle – nicht bestimmen kann. Wir führen jetzt einen Begriff ein, um solche problematischen Stellen auszuschließen.

Die Existenz eines Grenzwerts bedeutet, dass die Sekantensteigungen für beliebige Annäherungen $h \rightarrow 0$ immer zu demselben Wert führen. Ein Knick im Funktionsgraphen gehört also immer zu einer Stelle, an der die Funktion nicht differenzierbar ist.

Beachte: Nur wenn die Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar ist, kann man die Ableitung $f'(x_0)$ bilden:

$\begin{array}{lcl} m(x_0, x_0+h) & = & \quad\enspace\, \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad f'(x_0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}} \end{array}$

Differenzierbarkeit an einer Stelle ist also immer die Grundvoraussetzung dafür, die Ableitung an dieser Stelle zu bilden.