Lösungen zu Übungen – Begrenztes Wachstum
Aufgabe 1
Auf einer Insel hat sich eine neue schnelle ausbreitende invasive Tierpopulation etabliert.
(a) Die Inselverwaltung vermutet, dass man die künftige Entwicklung der Population mit der folgenden Bestandsfunktion beschreiben kann:
$B(t) = 2500 - 2100 \cdot e^{-0.2t}$; $t$ in Jahre
(a1) Beschreibe zunächst, von welchen Annahmen die Inselverwaltung ausgeht. Gib hierzu auch an, was die Zahlenwerte in der Funktionsgleichung $B(t)$ angeben.
(a2) Bestimme dann, nach welcher Zeit $90\%$ der Gesamtkapazität der Insel erreicht ist.
(a1)
- Die Inselverwaltung geht von einem begrenzten Wachstum aus.
- Die Obergrenze für die Population liegt bei $G = 2500$ Tieren.
- Zum aktuellen Zeitpunkt $t = 0$ umfasst die Population $B_0 = 400$ Tieren.
- Der Differenzbestand (d.h. die Anzahl der Tiere, für die noch Platz auf der Insel wäre) nimmt exponentiell mit der Annäherungsrate $k = 0.2$ ab.
(a2)
Bedingung: $B(t) = 0.9 \cdot 2500$
Durch Auflösen nach $t$ erhält man $t \approx 10.6$ (in Jahren).
(b) Die Inselverwaltung beauftragt Biologen, die Populationsentwicklung genauer zu untersuchen. Die Biologen gehen davon aus, dass durch die begrenzten Ressourcen nur maximal 2000 Tiere auf der Insel leben können. Tierzählungen haben folgende Werte geliefert.
|
$t$ Jahre nach Beobachtungsbeginn |
$B(t)$: Bestand Anzahl der Tiere, die aktuell auf der Insel leben |
$D(t)$: Differenzbestand Anzahl der Tiere, für die noch Platz auf der Insel wäre |
|---|---|---|
| $0$ | $200$ | |
| $1$ | $600$ | |
| $2$ | $910$ | |
| $3$ | $1150$ |
(b1) Zeige, dass diese Daten ein begrenztes Wachstum mit der Grenze $G = 2000$ nahelegen. Beschreibe die Bestandsentwicklung mit einer Funktionsgleichung.
(b2) Bestimme dann, nach welcher Zeit $90\%$ der Gesamtkapazität der Insel erreicht ist.
(b1) Die folgende Tabelle zeigte, dass der Differenzbestand exponentiell abnimmt. Der Wachstumsfaktor beträgt $q \approx 0.78$.
|
$t$ Jahre nach Beobachtungsbeginn |
$B(t)$: Bestand Anzahl der Tiere, die aktuell auf der Insel leben |
$D(t)$: Differenzbestand Anzahl der Tiere, für die noch Platz auf der Insel wäre |
|---|---|---|
| $0$ | $200$ | $1800$ |
| $1$ | $600$ | $1400 \approx 1800 \cdot 0.78$ |
| $2$ | $910$ | $1090 \approx 1400 \cdot 0.78$ |
| $3$ | $1150$ | $850 \approx 1090 \cdot 0.78$ |
Für die Differenzfunktion erhält man dann:
$D(t) = 1800 \cdot 0.78^t \approx 1800 \cdot e^{-0.25 t}$
Hieraus ergibt sich folgende Bestandsfunktion:
$B(t) = 2000 - 1800 \cdot 0.78^t \approx 1800 \cdot e^{-0.25 t}$
(b2)
Bedingung: $B(t) = 0.9 \cdot 2000$
Durch Auflösen nach $t$ erhält man $t \approx 8.8$ (in Jahren).
Aufgabe 2
Die Heizung ist ausgefallen. Draußen beträgt die Temperatur konstant $8°C$. Zum Zeitpunkt, als die Heizung ausfällt, ist das Zimmer noch auf $21°C$ aufgeheizt. Nach $1$ Stunde zeigt das Thermometer $18°C$.
(a) Gehe (nach dem Abkühlungsgesetz) davon aus, dass es sich bei der Temperaturentwicklung um ein begrenzte Abnahme handelt. Bestimme mit den gegebenen Angaben eine Bestandsfunktion zur Beschreibung der Temperaturentwicklung.
(b) Berechne, wie lang es ungefähr dauert, bis die Temperatur im Zimmer nur noch $10°C$ beträgt.
(a)
Die Temperaturgrenze liegt bei $G = 8$ (°C). Die Ausgangstemperatur beträgt $B_0 = 21$ (°C). Die Temperatur fällt in der ersten Stunde von $21$ (°C) auf $18$ (°C). Der Wachstumsfaktor beträgt dann $q = \frac{18}{21} \approx 0.857$. Mit diesen Werten erhält man:
$B(t) = 8 + 13 \cdot 0.857^t \approx 8 + 13 \cdot e^{-0.154 t}$
(b)
Wenn man die Bedingung $B(t) = 10$ nach $t$ auflöst, erhält man $t \approx 12.15$.
Aufgabe 3
Ein Fall für die Gerichtsmedizin – hier die Fakten:
- Am Ufer des Rheins wird eine tote Person gefunden. Die Kommissare M. und F. gehen von einem Mord aus.
-
Gerichtsmediziner J.:
Wir können in etwa abschätzen, wann die Person gestorben ist. Wir haben aktuell eine recht konstante Außentemperatur von $8°C$. Als die Person noch lebte, hatte sie eine Körpertemperatur von ungefähr $37°C$. Jetzt haben wir eine Körpertemperatur von $25°C$ gemessen.
- Die Abkühlrate eines Körpers beträgt ungefähr $0.03$ (bezogen auf eine Stunde).
Ermittle mit den Informationen des Todeszeitpunkt, wenn die Körpertemperatur mittags gegen 14 Uhr gemessen wurde.
Mit den Daten erhält man folgende Betsandsfunktion:
$B(t) = 8 + 20 \cdot e^{-0.03 t}$; $t$ in Stunden
Wenn man die Bedingung $B(t) = 25$ nach $t$ auflöst, erhält man $t \approx 17.8$.
Die Person ist vor ungefähr $18$ Stunden gestorben, also gegen 20 Uhr am Vortag.
Aufgabe 4
Ein Produkt erreicht langfristig einen Marktanteil von $G = 80\%$. Zum Zeitpunkt der Markteinführung haben erwerben $5\%$ der Konsumenten das Produkt. Nach zwei Jahren liegt der Anteil bereits bei $25 \%$.
(a) Beschreibe die Produktentwicklung mit einer Funktionsgleichung, wenn die Entwicklung des Marktanteils ein begrenzes Wachstum durchläuft.
(b) Berechne den Zeitpunkt, zu dem ein Marktanteil von $50 \%$ erreicht wird.
(a)
Die Bestandsentwicklung lässt sich mit folgender Bestandsfunktion beschreiben:
$B(t) = 80 - 75 \cdot e^{- k \cdot t}$
Es gilt $B(2) = 25$. Diese Bedingung führt zur Gleichung $25 = 80 - 75 \cdot e^{- 2k}$. Auflösen der Gleichung nach $k$ liefert $k \approx 0.15$. Also:
$B(t) = 80 - 75 \cdot e^{- 0.15 \cdot t}$
(b) Wenn man die Bedingung $B(t) = 50$ nach $t$ auflöst, erhält man $t \approx 6.1$. Nach ca. $6$ Jahren liegt der Marktanteil bei $50\%$.
