Lösungen zu Übungen – Exponentielles Wachstum
Aufgabe 1
Welche Wertetabellen beschreiben einen exponentiellen Prozess? Begründe jeweils.
(a)
| x | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| y | $4$ | $7$ | $10$ | $13$ | $16$ |
Die Daten gehören zu einem linearen Wachstumsprozess. Zur Schrittweite $1$ gehört immer der gleiche Zuwachs $3$.
(b)
| x | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| y | $4$ | $6$ | $9$ | $13.5$ | $20.25$ |
Hier gehören die Daten zu einem exponentiellen Wachstumsprozess. Zur Schrittweite $1$ gehört immer der gleiche Wachstumsfaktor $1.5$.
(c)
| x | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| y | $10$ | $20$ | $50$ | $150$ | $525$ |
Hier liegt kein exponentieller Wachstumsprozess vor. Die Wachstumsfaktoren zur Schrittweite $1$ werden hier immer größer.
(d)
| x | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| y | $100$ | $80$ | $64$ | $51.2$ | $40.06$ |
Hier liegt kein exponentieller Zerfallsprozess vor. Zur Schrittweite $1$ gehört immer der gleiche Wachstumsfaktor $0.8$.
Aufgabe 2
Ergänze in der Tabelle jeweils die fehlenden Einträge.
| Anfangsw. | W.faktor z. Schrittw. $1$ |
proz. W.rate |
W.konstante | Exp.fkt m. bel. Basis |
e-Funktion |
|---|---|---|---|---|---|
| $a = 2.5$ | $b = 1.1$ | $p\% = 10\%$ | $k \approx 0.095$ | $f(x) = 2.5 \cdot 1.1^x$ | $f(x) = 2.5 \cdot e^{0.095 x}$ |
| $a = 10$ | $b = 1.2$ | $p\% = 20\%$ | $k \approx 0.182$ | $f(x) = 10 \cdot 1.2^x$ | $f(x) = 10 \cdot e^{0.182 x}$ |
| $a = 2$ | $b = 1.05$ | $p\% = 5\%$ | $k \approx 0.049$ | $f(x) = 2 \cdot 1.05^x$ | $f(x) = 2 \cdot e^{0.049 x}$ |
| $a = 4$ | $b \approx 0.607$ | $p\% = -39.3\%$ | $k = -0.5$ | $f(x) = 4 \cdot 0.607^x$ | $f(x) = 4 \cdot e^{-0.5 x}$ |
Aufgabe 3
Beschreibe die exponentiellen Prozesse jeweils mit Funktionsgleichungen.
(a) Ein Geldbetrag von $1000 €$ wird jährlich mit $3 \%$ verzinst.
$f(x) = 1000 \cdot 1.03^x = 1000 \cdot e^{\ln(1.03)\cdot x} \approx 1000 \cdot e^{0.03\cdot x}$
(b) Eine Bakterienkultur mit anfangs $200$ Bakterien verdoppelt sich alle 20 Minuten.
Mit $t_D = 20$ erhält man $k \approx 0.035$. Also:
$f(x) = 1000 \cdot e^{0.035 \cdot x} \approx 1000 \cdot 1.036^x$
(c) Eine Bevölkerung von $2$ Millionen verringert sich jährlich um $1.5 \%$.
$f(x) = 2 \cdot 0.985^x = 2 \cdot e^{\ln(0.985)\cdot x} \approx 2 \cdot e^{-0.015\cdot x}$
(d) Eine Tasse Kaffee enthält 90 mg Koffein. Koffein wird im Körper wieder abgebaut. Der Koffeingehalt im Körper halbiert sich alle 4 Stunden.
Mit $t_H = 4$ erhält man $k \approx -0.173$. Also:
$f(x) = 90 \cdot e^{-0.173 \cdot x} \approx 90 \cdot 0.841^x$
Aufgabe 4
Die exponentiellen Prozesse sind hier mit Differentialgleichungen mit Anfangswerten beschrieben. Gib jeweils eine passende Funktiongleichung zur Beschreibung der Prozesse an.
(a)
- $f(0) = 12$
- $f' = 0.2 \cdot f$
$f(x) = 12 \cdot e^{0.2\cdot x}$
(b)
- $f(0) = 20$
- $f' = -2 \cdot f$
$f(x) = 20 \cdot e^{-2 \cdot x}$
