Lösungen zu Übungen – Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Aufgabe 1
Ordne die Integralfunktion in der Übersicht den veranschaulichenden Applets zu.
| Integralfunktion (Integralschreibweise) |
Integralfunktion (Berechnungsterm) |
|---|---|
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| Veranschaulichung | Integralfunktion (Integralschreibweise) |
Integralfunktion (Berechnungsterm) |
|---|---|---|
| Veranschaulichung | Integralfunktion (Integralschreibweise) |
Integralfunktion (Berechnungsterm) |
|---|---|---|
| $I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} 2 \; dt$ | $2x$ | |
| $I_{2}(x) = \int\limits_{2}^{x} 2 \; dt$ | $2x - 4$ | |
| $I_{-2}(x) = \int\limits_{-2}^{x} 2 \; dt$ | $2x + 4$ | |
| $I_{2}(x) = \int\limits_{2}^{x} -2 \; dt$ | $-2x + 4$ | |
| $I_{-2}(x) = \int\limits_{-2}^{x} -2 \; dt$ | $-2x - 4$ | |
| $I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} -2 \; dt$ | $-2x$ |
Aufgabe 2
Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = x$.
(a) Betrachte die untere Grenze $a = 0$. Bestimme eine Funktionsgleichung für $I_0(x)$ mittels geometrischer Berechnungen. Überprüfe, ob die von dir ermittelte Funktionsgleichung die Hauptsatzbedingung $I_0'(x) = f(x)$ und die Ausgangsbedingung $I_0(0) = 0$ erfüllt.
(b) Betrachte die untere Grenze $a = 2$. Begründe geometrisch, dass $I_2(x) = I_0(x) - I_0(2)$. Bestimme (mit dem Ergebnis aus (a)) eine Funktionsgleichung für $I_2(x)$. Überprüfe, ob die ermittelte Funktionsgleichung die Hauptsatzbedingung und die Ausgangsbedingung erfüllt.
(a)
Mit Flächenberechnungen erhält man $I_0(x) = \frac{1}{2}x^2$ für $x \ge 0$. Für diese Funktion gilt $I_0'(x) = x = f(x)$ sowie $I_0(0) = 0$.
(b)
Mit $I_2(x) = I_0(x) - I_0(2)$ erhält man $f_2(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2$ (für $x \ge 2$). Für diese Funktion gilt $I_2'(x) = x = f(x)$ sowie $I_2(2) = 0$.
Aufgabe 3
Betrachte die Randfunktion $f$ mit $f(x) = 3x^2 - 1$. Welcher Funktionsterm gehört zur zugehörigen Integralfunktion $I_2$? Begründe.
- A: $I_2(x) = 6x$
- B: $I_2(x) = x^3$
- C: $I_2(x) = x^3-x-6$
- D: $I_2(x) = x^3-x$
Die Integralfunktion $I_2$ muss folgende Bedingungen erfüllen: $I_2'(x) = f(x)$ und $I_2(2) = 0$. Das trifft nur auf $I_2(x) = x^3-x-6$ zu.
- A: Es gilt $I_2'(x) = 6 \neq f(x)$
- B: Es gilt $I_2'(x) = 3x^2 \neq f(x)$
- C: Es gilt $I_2'(x) = 3x^2-1 = f(x)$ und $I_2(2) = 8-2-6 = 0$
- D: Es gilt $I_2'(x) = 3x^2-1 = f(x)$ und $I_2(2) = 8-2 = 6 \neq 0$
Aufgabe 4
Betrachte die Randfunktion $f$ mit folgendem Graph.
Welcher Funktionsgraph gehört zur zugehörigen Integralfunktion $I_2$? Begründe.
Die Integralfunktion $I_2$ muss folgende Bedingungen erfüllen: $I_2'(x) = f(x) = 1$ und $I_2(2) = 0$. Das trifft nur auf den roten Graph D zu.
Aufgabe 5
Gegeben sind die Graphen von vier Randfunktionen. In welchen Situationen hat Graph $I_0$ an der Stelle $x = 1$ die Steigung $1$? Begründe.
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
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Die Funktion $f$ muss an der Stelle $x = 1$ stetig sein und es muss $f(1) = I_0'(1) = 1$ gelten. Das trifft nur auf die Situationen A und B zu.
- A: $f$ ist an der Stelle $x=1$ stetig und es gilt $f(1)=1$.
- B: $f$ ist an der Stelle $x=1$ stetig und es gilt $f(1)=1$.
- C: Die Bedingung $f(1)=1$ ist hier nicht erfüllt.
- D: $f$ ist an der Stelle $x=1$ nicht stetig.
Aufgabe 6
Gegeben ist der Graph einer Integralfunktion $I_{-1}$.
Welche Eigenschaften hat Graph $f$? Begründe.
- A: $f$ hat an der Stelle $x = -1$ eine Nullstelle.
- B: $f$ hat an der Stelle $x = 0$ eine Nullstelle.
- C: Graph $f$ verläuft im Intervall $0 \lt x \lt 1$ oberhalb der $x$-Achse.
- D: Graph $f$ hat an der Stelle $x = 1$ einen Tiefpunkt.
Beim Argumentieren verwenden wir den Zusammenhang $I_{-1}'(x) = f(x)$.
- A: $I_{-1}$ hat an der Stelle $x = -1$ eine negative Steigung. Da $f(-1) = I_{-1}'(-1)$, ist die Aussage falsch.
- B: $I_{-1}$ hat an der Stelle $x = 0$ einen Tiefpunkt. Also gilt $f(0) = I_{-1}'(0)$ = 0. Die Aussage ist also wahr.
- C: $I_{-1}$ hat im Intervall $0 \lt x \lt 1$ eine positive Steigung. Graph $f$ verläuft in diesem Intervall also oberhalb der $x$-Achse. Die Aussage ist also wahr.
- D: Wenn Graph $f$ an der Stelle $x = 1$ einen Tiefpunkt hätte, dann müsste Graph $I_{-1}$ an der Stelle $x = 1$ einen Wendepunkt haben. Das trifft aber nicht zu. Die Aussage ist also falsch.
