Lösungen zu Übungen – Bestimmung von Stammfunktionen

Aufgabe 1

(a) Erstelle ein Pfeildiagramm zu diesen Funktionen. Ein Pfeil von einer Funktionsgleichung $g(x)$ zu einer anderen Funktionsgleichung $h(x)$ soll bedeuten, dass $g$ Stammfunktion von $h$ ist.

• $f_1(x) = x^2-2x$
• $f_2(x) = -2x$
• $f_3(x) = \frac{1}{3}x^3-x^2$
• $f_4(x) = (x-1)^2$
• $f_5(x) = 2x$
• $f_6(x) = 2$
• $f_7(x) = \frac{1}{3}x^3-x^2-1$
• $f_8(x) = -x(x-2)$

(b) Verbinde Graphen mit Pfeilen. Ein Pfeil von Graph $g$ zu Graph $h$ soll bedeuten, dass $g$ Stammfunktion von $h$ ist.

(c) Ordne den Funktionsgraphen aus (b) die passenden Funktionsgleichungen aus (a) zu. Vergleiche die beiden Pfeildiagramme aus (a) und (b). Kontrolliere auf diese Weise selbst deine Ergebnisse

Aufgabe 2

In der Tabelle sind die Ausgangsfunktionen vorgegeben. Bestimme jeweils eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion. Kontrolliere, indem du die Ableitungsfunktion zur Stammfunktion bestimmst.

	Ausgangsfunktion: $f$	Stammfunktion: $F$	zur Kontrolle: $F'$
(a)	$f(x) = x^3$	$\dots $	$\dots $
(b)	$f(x) = x^6$	$\dots $	$\dots $
(c)	$f(x) = x$	$\dots $	$\dots $
(d)	$f(x) = 4$	$\dots $	$\dots $
(e)	$f(x) = 4x$	$\dots $	$\dots $
(f)	$f(x) = 2x-1$	$\dots $	$\dots $
(g)	$f(x) = -3x^2$	$\dots $	$\dots $
(h)	$f(x) = 2x^3 - 3x^2$	$\dots $	$\dots $
(i)	$f(x) = -x^5 + 4x^2 - x$	$\dots $	$\dots $
(j)	$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{2}{3}$	$\dots $	$\dots $
(k)	$f(x) = 2.5x^4 - 1.6x^3 + 7.2x$	$\dots $	$\dots $
(l)	$f(x) = x^{n-1}$ mit $n\in \{1, 2, 3, \dots\}$	$\dots $	$\dots $

Aufgabe 3

Mit Hilfe von Stammfunktionen kann man Integralfunktionen bestimmen. Verdeutliche das an folgendem Beispiel.

Gegeben ist die Randfunktion f mit $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2$. Gesucht sind Funktionsgleichungen für die Integralfunktionen $I_0$ und $I_{-1}$.

Kontrolliere deine Ergebnisse im Applet.

Zum Herunterladen: integralfunktionen.ggb

Aufgabe 4

In der Tabelle sind die Ausgangsfunktionen vorgegeben. Bestimme jeweils eine Stammfunktion zur Ausgangsfunktion. Kontrolliere, indem du die Ableitungsfunktion zur Stammfunktion bestimmst.

	Ausgangsfunktion: $f$	Stammfunktion: $F$	zur Kontrolle: $F'$
(a)	$f(x) = x^{-3}$	$\dots $	$\dots $
(b)	$f(x) = \frac{1}{x^2}$	$\dots $	$\dots $
(c)	$f(x) = -\frac{2}{x^3}$	$\dots $	$\dots $
(d)	$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$	$\dots $	$\dots $
(e)	$f(x) = x^{2.5}$	$\dots $	$\dots $
(f)	$f(x) = x^{-2.5}$	$\dots $	$\dots $
(g)	$f(x) = \sqrt{x^3}$	$\dots $	$\dots $
(h)	$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$	$\dots $	$\dots $

Aufgabe 5

Beurteile die folgenden Aussagen und begründe deine Ergebnisse.

A: Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, ist auch $G$ mit $G(x) = F(x) - 1$ eine Stammfunktion von $f$.

B: Die Funktion $f$ mit $f(x) = 0$ hat keine Stammfunktionen.

C: Es gibt eine Funktion $f$, die genau eine Stammfunktion hat.

D: Wenn $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$ sind, so ist $F-G$ eine Stammfunktion der Nullfunktion $h$ mit $h(x) = 0$.

Aufgabe 6

Mit Hilfe von Integralen kann man Stammfunktionen bestimmen. Untersuche hierzu das folgendem Beispiel.

Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$. Wir betrachten nur das Intervall $1 \le x \lt \infty$.

(a) Erläutere, dass man für diese Randfunktion die Potenzregel für Stammfunktionen nicht anwenden kann. Man kann eine Stammfunktion von $f$ also nicht durch Aufleiten mit der Potenzregel bestimmen.

(b) Hier geht es um die Frage, ob die Funktion $f$ überhaupt Stammfunktionen hat. Begründe, dass die Integralfunmktion $I_1$ eine Stammfunktion zur Randfunktion $f$ im betrachteten Bereich ist.

(c) Bestimme mit dem folgenden Applet (näherungsweise) Funktionswerte für die Integralfunktion $I_1$. So erhält man dann eine Wertetabelle (mit einigen Funktionswerten) zu einer Stammfunktion von $f$.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\dots$
$I_1(x)$

Zum Herunterladen: stammfunktion1durchx.ggb