Lösungen zu Übungen – Berechnung von Integralen
Grundaufgaben
Aufgabe 1 – Integrale berechnen
Berechne die Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen. Überprüfe die Ergebnisse im Applet.
(a) $\int\limits_{1}^{3} \left( 2x \right) dx$
(b) $\int\limits_{0}^{3} \left( x^2 \right)$
(c) $\int\limits_{-2}^{-1} \left( -x \right) dx$
(d) $\int\limits_{-1}^{3} \left( 1 \right)$
(e) $\int\limits_{-2}^{1} \left( x + \frac{1}{2} \right)$
(f) $\int\limits_{-3}^{3} \left( -x^2 + 2 \right)$
(g) $\int\limits_{0}^{2} \left( -x^3 + 2x^2 \right) dx$
(h) $\int\limits_{-2}^{2} \left( \frac{5}{2}x^4 -3 x^2 \right) dx$
(i) $\int\limits_{-1}^{2} \left( x^4 - x + 1\right) dx$
(a) $\int\limits_{1}^{3} \left( 2x \right) dx = 8$
(b) $\int\limits_{0}^{3} \left( x^2 \right) dx = 9$
(c) $\int\limits_{-2}^{-1} \left( -x \right) dx = \frac{3}{2}$
(d) $\int\limits_{-1}^{3} \left( 1 \right) dx = 4$
(e) $\int\limits_{-2}^{1} \left( x + \frac{1}{2} \right) dx = 0$
(f) $\int\limits_{-3}^{3} \left( -x^2 + 2 \right) = -6 dx$
(g) $\int\limits_{0}^{2} \left( -x^3 + 2x^2 \right) dx = \frac{4}{3}$
(h) $\int\limits_{-2}^{2} \left( \frac{5}{2}x^4 -3 x^2 \right) dx = -1$
(i) $\int\limits_{-1}^{2} \left( x^4 - x + 1\right) dx = 2.4$
Aufgabe 2 – Fehlersuche
Finde die Fehler in den Rechnungen und korrigiere sie:
(a) $\int\limits_{-2}^1 \left( 3x^2 \right) dx = \left[ x^3 \right]_{-2}^1 = 1^3 + (-2)^3 = 1 - 8 = -7$
(b) $\int\limits_{3}^1 \left( 4x \right) dx = \left[ 2x^2 \right]_{3}^1 = 2\cdot 3^2 - 2\cdot 1^1 = 18 - 2 = 16$
(c) $\int\limits_1^4 \left( 3x^2+4 \right) dx = \left[ x^3 + 4x \right]_1^4 = 4^3 + 4 \cdot 3 - 1^3 + 4\cdot 1 = 64 + 12 - 1 + 4 = 79$
(d) $\int\limits_0^2 \left( x^4 \right) dx = \left[ 4x^3 \right]_0^2 = 4\cdot 2^3 - 4\cdot 0^3 = 32 - 0 = 32$
(a)
$\int\limits_{-2}^1 \left( 3x^2 \right) dx = \left[ x^3 \right]_{-2}^1 = 1^3 + (-2)^3 = 1 - 8 = -7$
Hier wurden die Stammfunktionswerte addiert. Man muss sie aber voneinander subtrahieren. Richtig wäre:
$\int\limits_{-2}^1 \left( 3x^2 \right) dx = \left[ x^3 \right]_{-2}^1 = 1^3 - (-2)^3 = 1 - (- 8) = 9$
(b)
$\int\limits_{3}^1 \left( 4x \right) dx = \left[ 2x^2 \right]_{3}^1 = 2\cdot 3^2 - 2\cdot 1^1 = 18 - 2 = 16$
Man muss die Stammfunktionswerte so voneinander subtrahieren: $F(b) - F(a)$ mit $b = 1$ und $a = 3$. Richtig wäre:
$\int\limits_{3}^1 \left( 4x \right) dx = \left[ 2x^2 \right]_{3}^1 = 2\cdot 1^2 - 2\cdot 3^2 = 2 - 18 = -16$
(c)
$\int\limits_1^4 \left( 3x^2+4 \right) dx = \left[ x^3 + 4x \right]_1^4 = 4^3 + 4 \cdot 3 - 1^3 + 4\cdot 1 = 64 + 12 - 1 + 4 = 79$
Wenn man die Stammfunktionswerte voneinander subtrahiert, muss man ggf. Klammern setzeen. Richtig wäre:
$\int\limits_1^4 \left( 3x^2+4 \right) dx = \left[ x^3 + 4x \right]_1^4 = (4^3 + 4 \cdot 3) - (1^3 + 4\cdot 1) = 64 + 12 - 1 - 4 = 75$
(d)
$\int\limits_0^2 \left( x^4 \right) dx = \left[ 4x^3 \right]_0^3 = 4\cdot 2^3 - 4\cdot 0^3 = 32 - 0 = 32$
Hier wurde bei der Bildung der Stammfunktion abgeleitet anstatt aufzuleiten. Richtig wäre:
$\int\limits_0^2 \left( x^4 \right) dx = \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_0^2 = \frac{1}{5}2^5 - \frac{1}{5}0^5 = 32$
Aufgabe 3 – Paare finden
Quelle: LearningApps.
Vertiefende Aufgaben
Aufgabe 4 – Integrale ermitteln ohne zu rechnen
(a) Gegeben ist eine Stammfunktion $F$ von $f$. Man weiß, dass $f(2)=1$, $f(5)=3$, $F(2)=5$ und $F(5)=2$ gilt. Gesucht ist der Wert des Integrals $\int\limits_{2}^5 f(x) dx$.
(b) Man weiß, dass $f(-1) = -1$ und $f(1) = 1$ gilt. Gesucht ist der Wert des Integrals $\int\limits_{-1}^1 f'(x) dx$.
(c) Man weiß, dass der Graph einer Stammfunktion $F$ von $f$ so aussieht:
Gesucht ist der Wert des Integrals $\int\limits_{0}^1 f(x) dx$.
(a) $\int\limits_{2}^5 f(x) dx = F(5) - F(2) = 2 - 5 = -3$.
(b) $\int\limits_{-1}^1 f'(x) dx = f(1) - f(-1) = 1 - (-1) = 2$.
(c) $\int\limits_{0}^1 f(x) dx = F(1) - F(0) = 0 - 1 = -1$.
Aufgabe 5 – Integrale ermitteln ohne zu rechnen
Die Abbildung zeigt den Graph einer Stammfunktion $F$ von $f$. Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung $m = 0.5$.
Ermittle (nur mit Daten aus der Abbildung) Werte für $a$ und $b$ angeben, so dass $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = 1$ gilt.
Es gilt $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$. Gesucht sind also Werte für $a$ und $b$ mit $F(b) - F(a) = 1$ bzw. $F(b) = F(a) + 1$.
Graph $F$ hat die Steigung $m = 0.5$. D.h., wenn man den $x$-Wert um $2$ erhöht, dann wächst der Funktionswert von $F$ um $1$. Wenn man also $a$ und $b$ so wählt, dass $b = a+2$ gilt, dann gilt $F(b) = F(a) + 1$.
Werte für $a$ und $b$ mit der gesuchten Eigenschaft sind z.B. $a = 0$ und $b = 2$ oder $a = 0.5$ und $b = 2.5$ oder ...
Aufgabe 6 – Parameter bestimmen
(a) Bestimme $b$ so, dass $\int\limits_{0}^b 2x dx = 4$.
(b) Gibt es ein $a$ mit $\int\limits_{a}^{-1} 2x dx = 4$?
(c) Gesucht sind Funktionen $f$ mit $\int\limits_{0}^{1} f(x) dx = 1$.
(a) Es gilt $\int\limits_{0}^b 2x dx = \left[ x^2 \right]_0^b = b^2$. Die Bedingung $b^2 = 4$ führt zu den Lösungen $b = -2$ und $b = 2$.
(b) Es gilt $\int\limits_{a}^{-1} 2x dx = \left[ x^2 \right]_a^{-1} = (-1)^2 - a^2 = 1 - a^2$. Die Bedingung $1 - a^2 = 4$ ist äquivalenz zu $a^2 = -3$. Diese Gleichung hat keine Lösungen.
(c) Es gilt $\int\limits_{0}^1 f(x) dx = \left[ F(x) \right]_0^1 = F(1) - F(0)$ (mit einer Stammfunktion $F$ von $f$). Die Stammfunktion $F$ muss also die Bedingung $F(1) - F(0) = 1$ erfüllen. Beispiele für solche Stammfunktionen sind $F(x) = x$, $F(x) = x^2$, $F(x) = x^3$, ... Für die Randfunktionen erhält man dann $f(x) = 1$, $f(x) = 2x$, $f(x) = 3x^2$, ... Es gibt natürlich noch viele weitere Randfunktionen, die die geforderte Bedingung erfüllen.
Aufgabe 7 – Ableitungsregeln benutzen
(a)
Geg.: $\int\limits_{0}^{5} f(x) dx = 10$ und $\int\limits_{0}^{2} f(x) dx = 4$
Ges.: $\int\limits_{2}^{5} f(x) dx$
(b)
Geg.: $\int\limits_{1}^{4} f(x) dx = 5$
Ges.: $\int\limits_{1}^{4} (f(x)+2) dx$
(c)
Geg.: $\int\limits_{-2}^{3} f(x) dx = 3$
Ges.: $\int\limits_{-2}^{3} 2f(x) dx$
(d)
Geg.: $\int\limits_{-3}^{2} f(x) dx = 7$ und $\int\limits_{2}^{-1} f(x) dx = -2$
Ges.: $\int\limits_{-3}^{-1} f(x) dx$
(a)
Es gilt: $\int\limits_{0}^{5} f(x) dx = \int\limits_{0}^{2} f(x) dx + \int\limits_{2}^{5} f(x) dx$.
Mit den vorgegebenen Integralwerten erhält man: $\int\limits_{2}^{5} f(x) dx = 10 - 4 = 6$
(b)
$\int\limits_{1}^{4} (f(x)+2) dx = \int\limits_{1}^{4} f(x) dx + \int\limits_{1}^{4} 2 dx = 5 + (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1) = 5 + 6 = 11$
(c)
$\int\limits_{-2}^{3} 2f(x) dx = 2 \cdot \int\limits_{-2}^{3} f(x) dx = 2 \cdot 3 = 6$
(d)
$\int\limits_{-3}^{-1} f(x) dx = \int\limits_{-3}^{2} f(x) dx + \int\limits_{2}^{-1} f(x) dx = 7 + (-2) = 5$
Anwendungen
Aufgabe 8 – Zufluss-Abfluss-System
Die Zuflussrate in einen Wasserbehälter kann näherungsweise mit einer Funktion $f$ beschrieben werden:
$f(t) = -\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t$
Die Zeit $t$ wird dabei in Stunden ($h$) angegeben, die Zuflussrate im Kubikmeter pro Stunde ($m^3/h$).
(a) Deute zunächst die Entwicklung der Zuflussrate. Wie wird sich die Zuflussmenge entwickeln?
(b) Bestimme die Wassermenge im Wasserbehälter nach $8$ Stunden. Gehe dabei davon aus, dass zum Zeitpunkt $t = 0$ bereits $40$ $m^3$ Wasser im Behälter sind.
(a) Die Zuflussrate ist im Zeitintervall $0 \le t \le 6$ positiv. In dieser Zeit läuft Wasser in den Behälter. Ab $t = 6$ ist die Zuflussrate negativ, die Wassermenge im Behälter verringert sich immer mehr.
(b)
$\int\limits_0^8 \left( -\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t \right) dt = \left[ -\frac{1}{12}t^3 + \frac{1}{2}t^2 \right]_0^8 = \frac{16}{3} \approx 5.33$
Im Zeitintervall $0 \le t \le 8$ sind insgesamt ca. $5.33$ $m^3$ Wasser in den Behälter geflossen. Es befinden sich dann ca. $45.33$ $m^3$ Wasser im Behälter.
Aufgabe 9 – freier Fall
Wir betrachten einen Stein, der im freien Fall nach unten fällt. Aus dem Physikunterricht kennst du die Formel $v(t) = 9.81 \frac{m}{s^2} \cdot t$ ($t$ in Sekunden und $v$ in $m$ pro $s$), mit der du die Geschwindigkeit bestimmen kannst.
(a) Nutze diese Formel und die Integralrechnung, um die gesamte Strecke $s(5)$ zu bestimmen, die der Stein innerhalb von fünf Sekunden nach unten fällt.
(b) Im Kapitel zur Differentialrechnung hast du die Faustformel $s(t) = 5t^2$ hergeleitet. Bestimme jetzt die exakte Formel mithilfe der Integralrechnung.
(a)
$\int\limits_0^5 v(t) dt = 9.81 \cdot \int\limits_0^5 t dt = 9.81 \cdot \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_0^5 = 9.81 \cdot (12.5 - 0) \approx 122.63$
Der Stein fällt innerhalb von $5$ $s$ ca. $122.63$ Meter nach unten.
(b)
Die Zeit-Weg-Funktion $s(t)$ lässt sich als Integralfunktion $I_0(t)$ zur Randfunktion $v(t)$ darstellen: $s(t) = I_0(t)$.
Eine Stammfunktion von $v(t) = 9.81 \cdot t$ ist z.B. $V(t) = \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot t^2$.
Mit $I_0(t) = V(t) - V(0)$ erhält man $s(t) = \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot t^2$. Wenn man die Konstante $9.81$ mit $g$ bezeichnet, ergibt
sich die Standardformel $s(t) = \frac{1}{2} g t^2$.
Aufgabe 10 – Aktienentwicklung
Eine Aktie wird zum Zeitpunkt $t = 0$ an die Börse gebracht. Der Kurs der Aktie ändert sich in den nächsten Wochen ständig. Die Entwicklung der Änderungsrate des Aktienkurses lässt sich grob mit folgender Funktion beschreiben:
$f(t) = -\frac{3}{32}t^2 + \frac{3}{4}t + 2$
Die Zeit $t$ wird dabei in Wochen angegeben, die Änderungsrate in € pro Woche.
(a) Deute die Entwicklung der Änderungsrate der Aktie. Kläre dabei, wann die Aktie ihren höchsten Wert hat.
(b) Berechne das Integral $\int\limits_{0}^{16} f(t) dt$ und deute das Ergebnis.
(a) Die Änderungsrate ist im Zeitintervall $0 \le t \le 10$ positiv. In dieser Zeit steigt der Wert der Aktie. Ab $t = 10$ ist die Änderungsrate negativ, der Wert der Aktie verringert sich wieder. Ihren höchsten Wert hat die Aktie also nach $10$ Wochen.
(b)
$\int\limits_{0}^{16} f(t) dt = \left[ -\frac{1}{32}t^3 + \frac{3}{8}t^2 + 2t \right]_{0}^{16} = (0 - 0) = 0$
Die Gesamtänderung der Aktie im Zeitintervall $0 \le t \le 16$ beträgt $0$ €. Die Aktie hat ihren Ausgangswert wieder erreicht.
