Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir betrachten ein Zufluss-Abfluss-System, bei dem die Entwicklung der Zuflussrate mit einer Funktion vorgegeben ist. Ziel ist es, die Entwicklung der Zuflussmenge ebenfalls mit einer Funktion zu beschreiben.
Entwicklung einer Zuflussmenge mit einer Funktion beschreiben
Wir betrachten die Zufluss-Abfluss-Systeme aus dem letzten Abschnitt.
Aufgabe 1
Ergänze in der Übersicht die fehlenden Teile.
| Situation A | Situation B | ||||||||||||||||||||||||
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| Zufluss-Abfluss-System: | Zufluss-Abfluss-System: | ||||||||||||||||||||||||
$f$ (Entwicklung der Zuflussrate):
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$f$ (Entwicklung der Zuflussrate):
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$I_0$ (Entwicklung der Zufussmenge):
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$I_0$ (Entwicklung der Zufussmenge):
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Prognose: Zum Zeitpunkt $x = 10$ ist – ab dem Zeitpunkt $0$ – so viel Wasser in den Behälter gelaufen: |
Prognose: Zum Zeitpunkt $x = 10$ ist – ab dem Zeitpunkt $0$ – so viel Wasser in den Behälter gelaufen: |
Einen Begriff einführen
Die Entwicklung der Zuflussmenge (zur vorgegebenen Entwicklung der Zuflussrate) wird oben mit einer Funktion $I_0$ beschrieben. Die Funktion $I_0(x)$ ordnet jedem Zeitpunkt $x \ge 0$ die Zuflussmenge im Zeitintervall $0 \le t \le x$ an. Die jeweilige Zuflussmenge entspricht dem Integral zur Zuflussratenfunktion $f$ von $0$ bis $x$:
$I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t) \; dt$
Die Funktion $I_0$ ordnet also jedem $x$-Wert einen Integralwert zu. Wir führen einen allgemeinen Begriff für solche Integralfunktionen ein.
Integralfunktion
Betrachte eine Funktion $f$ und Intervalle $a \le t \le x$ mit fester unterer Grenze $a$ und variabler oberer Grenze $x$, die ganz in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegen. Die Funktion, die jedem $x \ge a$ das Integral zur Funktion $f$ von $a$ bis $x$ zuordnet, nennt man Integralfunktion zur Funktion $f$ (zur unteren Grenze $a$). Wir nutzen folgende Schreibweisen:
$I_{a}(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) \; dt$ $\qquad$ (historische Schreibweise)
$I_{a}(x) = \int\limits_{a}^{x} f$ $\qquad$ (Operatorschreibweise)
Die Ausgangsfunktion zu einer Integralfunktion nennt man auch Randunktion zur Integralfunktion.
Aufgabe 2
Dokumentiere im Wissensspeicher die Ergebnisse zur Situation A im Beispiel oben in der linken Spalte.
Weitere Integralfunktionen bestimmen
Während die Beschreibung des Zufluss-Abfluss-Prozesses oben zum Zeitpunkt $x = 0$ begann, starten wir hier beim Zeitpunkt $x = 2$.
Aufgabe 3
Betrachte die Randfunktionen aus den Situationen A und B. Bestimme eine Wertetabelle und eine Funktionsgleichung für die Integralfunktion $I_2$. Ergänze hierzu die fehlenden Teile in der Übersicht. Dokumentiere die Ergebnisse zur Situation A im Wissensspeicher.
| Situation A | Situation B | ||||||||||||||||||||||||
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| Zufluss-Abfluss-System: | Zufluss-Abfluss-System: | ||||||||||||||||||||||||
$f$ (Entwicklung der Zuflussrate):
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$f$ (Entwicklung der Zuflussrate):
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$I_2$ (Entwicklung der Zufussmenge):
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$I_2$ (Entwicklung der Zufussmenge):
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Prognose: Zum Zeitpunkt $x = 10$ ist – ab dem Zeitpunkt $2$ – so viel Wasser in den Behälter gelaufen: |
Prognose: Zum Zeitpunkt $x = 10$ ist – ab dem Zeitpunkt $2$ – so viel Wasser in den Behälter gelaufen: |
Aufgabe 4
Betrachte die Randfunktionen aus den Situationen A und B. Bestimme Funktionsgleichungen für die Integralfunktion $I_a$ für ein beliebiges $a \ge 0$.
