Vertiefung
Zur Orientierung
Wir betrachten ein Zufluss-Abfluss-System, bei dem die Entwicklung der Zuflussrate mit einer Funktion vorgegeben ist. Ziel ist es, die Entwicklung der Zuflussmenge ebenfalls mit einer Funktion zu beschreiben.
Entwicklung einer Zuflussmenge mit einer Funktion beschreiben
Wir betrachten die Zufluss-Abfluss-Systeme aus dem letzten Abschnitt. Im Applet kann man $x$ jetzt auch auf Werte einstellen, die kleiner als $a$ sind. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: integralfunktionen3.ggb
Aufgabe 1
Gehe von der Einstellung $a = 0$ aus.
Kläre folgende Fragen im Kontext Zufluss-Abfluss-Prozess
:
- Was beschreibt die Vorgabe $a = 0$?
- Wie kann man die Situation $x \lt a$ deuten?
- Wie verhält sich die Zuflussrate $f(x)$ für $x \lt a$ (in der Situation A bzw. B)?
- Warum ist es sinnvoll, dass die zur Zuflussrate gebildete Zuflussmenge $I_0(x)$ für $x \lt a$ in der Situation A negativ ist?
- Warum ist es sinnvoll, dass die zur Zuflussrate gebildete Zuflussmenge $I_0(x)$ für $x \lt a$ in der Situation B positiv ist?
Die Integraldefinition erweitern
Die Entwicklung der Zuflussmenge (zur vorgegebenen Entwicklung der Zuflussrate) wird mit der Funktion $I_0$ beschrieben. Wir haben $I_0(x)$ für $x \ge 0$ mit einem Integral beschrieben:
$I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t) \; dt$; $x \ge 0$
Wünschenswert wäre, wenn man die Zuflussmengenfunktion $I_0$ auch für beliebige $x$-Werte mit dem Integral beschreiben könnte.
$I_{0}(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t) \; dt$; $x \in\mathbb{R}$
Bisher geht das aber noch nicht. Wir haben in der Integraldefinition vorausgesetzt, dass die untere Grenze immer kleiner oder gleich der oberen Grenze ist.
Aufgabe 2
Begründe, dass die folgende Erweiterung der Integraldefinition dazu führt, dass die Integralfunktion $I_a(x)$ für beliebige $x$-Werte definiert ist und die Zuflussmengen in einem Zufluss-Abfluss-Prozess (mit Blick in die Zukunft und die Vergangenheit) sinnvoll beschreibt.
Erweiterung der Integraldefinition
Betrachte eine Funktion $f$ und ein Intervall $a \le t \le b$, das ganz in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegen.
Wenn das Integral $\int\limits_{a}^{b} f(t) \; dt$ existiert, dann erhält man das Integral $\int\limits_{b}^{a} f(t) \; dt$ folgendermaßen:
$\int\limits_{b}^{a} f(t) \; dt = - \int\limits_{a}^{b} f(t) \; dt$
Die Orientierung von Flächeninhalten neu festlegen
Das Integral haben wir bisher geometrisch als orientierten Flächeninhalt gedeutet. Lässt sich diese Deutung auch für die erweiterte Integraldefinition aufrecht erhalten? Zur Klärung dieser Frage betrachten wir lediglich konstante Randfunktionen. Die Erkenntnisse lassen sich aber auf beliebige Randfunktionen übertragen. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: orientierterflaecheninhalt.ggb
Aufgabe 3
Im Applet ist die zum Integral gehörende Fläche mit Pfeilen umrandet. Die Pfeile sollen dabei eine Orientierung der Fläche andeuten. Untersuche, wie man mit Hilfe der Pfeile den orientierten Flächeninhalt so festlegen kann, dass er dem Integral entspricht. Betrachte hierzu exemplarisch die Funktionen $f(x) = 1$ sowie $f(x) = -1$. Variiere die $x$-Werte so, dass sie größer und auch kleiner als $a$ sind.
