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Einstieg - Fachbegriffe

3D-Abbildungen

Im Erkundungskapitel hast du geometrische 3D-Abbildungen durchgeführt. Das Applet zeigt ein Beispiel, bei dem eine Drehung um $90 °$ um die $x_{3}$ -Achse mit einer Verschiebung um $2$ Einheiten in $x_{3}$ -Richtung kombiniert wird.

Zum Herunterladen: abbildung_raumschiff2.ggb

Bei der Abbildung im Applet handelt es sich um eine affine 3D-Abbildung. Solche Abbildungen haben die analoge Struktur zu affinen 2D-Abbildung.

Affine / lineare Abbildungen im Raum

Eine affine 3D-Abbildung ist eine 3D-Abbildung $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \to (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})$ , die sich mit einer Abbildungsmatrix $A$ und einen Verschiebevektor $\vec{v}$ in der folgenden Weise beschreiben lässt:

$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})}}$

Eine lineare 3D-Abbildung ist eine affine 3D-Abbildung mit dem Nullvektor als Verschiebevektor:

Aufgabe 1

Im Erkundungskapitel hast du etliche Beispiele für affine 3D-Abbildungen kennengelernt. Nenne einige Beispiele für solche Abbildungen. Bei welchen dieser Abbildungen handelt es sich um lineare 3D-Abbildungen?

Zur Orientierung

Ziel der folgenden Abschnitte ist es, ein vertiefteres Verständnis über affine 3D-Abbildungen zu entwickeln.

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