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Vertiefung - Lineare (Un-) Abhängigkeit

Zur Orientierung

Zur Beschreibung der Ergebnisse aus dem letzten Abschnitt verwenden wir das in der Linearen Algebra fundamentale Konzept der linearen (Un-) Abhängigkeit.

Zusammenhänge mit einen neuen Fachkonzept beschreiben

Mit Hilfe des Applets hast du vermutlich Folgendes festgestellt: Eine lineare / affine Abbildung erzeugt aus dem 3D-Einheitswürfel einen 3D-Körper genau dann, wenn die Spaltenvektoren der Abbildungsmatix bzw. die Bilder der Einheitsvektoren $\vec{O^{'} E_{1}^{'}}$ , $\vec{O^{'} E_{2}^{'}}$ und $\vec{O^{'} E_{2}^{'}}$ in $3$ unterschiedliche Raumrichtungen zeigen.

Zum Herunterladen: affineabbildung3D.ggb

Wir verallgemeinern das Konzept der linearen Unabhängigkeit, um diesen Sachverhalt zu beschreiben.

Für zwei Vektoren (die auch $3$ -dimensional sein können), gilt diese Definition:

Lineare (Un-) Abhängigkeit

Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn (mindestens) einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist bzw. wenn es eine reelle Zahl $k$ gibt, sodass $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ oder $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ gilt.

Zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.

Für drei Vektoren (die auch $2$ -dimensional sein können), gilt diese Verallgemeinerung:

Lineare (Un-) Abhängigkeit

Drei Vektoren $\vec{u}$ , $\vec{v}$ und $\vec{w}$ nennt man linear abhängig genau dann, wenn (mindestens) einer der Vektoren sich als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen lässt bzw. wenn es reelle Zahlen $p$ und $q$ gibt, sodass $\vec{u} = p \cdot \vec{v} + q \cdot \vec{w}$ oder $\vec{v} = p \cdot \vec{u} + q \cdot \vec{w}$ oder $\vec{w} = p \cdot \vec{u} + q \cdot \vec{v}$ gilt.

Drei Vektoren $\vec{u}$ , $\vec{v}$ und $\vec{w}$ nennt man linear unabhängig genau dann, wenn sie nicht linear abhängig sind.

Beispiele

$\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{w} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ sind linear unabhängig, da man keinen Vektor als Linearkombination der beiden anderen darstellen kann. Das sieht man hier direkt.
$\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 0.5 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{w} = (\begin{matrix} 0.5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ sind linear unabhängig, da man keinen Vektor als Linearkombination der beiden anderen darstellen kann. Das sieht man hier nicht direkt, das müsste man noch nachweisen.
$\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 0.5 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{w} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 0.5 \end{matrix})$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{u} = 0 \cdot \vec{v} + 1 \cdot \vec{w}$ gilt.
$\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 0.5 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{w} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{u} = 0 \cdot \vec{v} + 2 \cdot \vec{w}$ gilt.
$\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 0.5 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{w} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 0.5 \end{matrix})$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{w} = 1 \cdot \vec{u} + 1 \cdot \vec{v}$ gilt.
$\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 0.5 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{w} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 0.5 \end{matrix})$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{v} = 0 \cdot \vec{u} + 0 \cdot \vec{w}$ gilt.
$\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 0.5 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{w} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{v} = 0 \cdot \vec{u} + 0 \cdot \vec{w}$ gilt.
$\vec{u} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{w} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ sind linear abhängig, da z.B. $\vec{v} = 0 \cdot \vec{u} + 0 \cdot \vec{w}$ gilt.

Aufgabe 1

Benutze das Fachkonzept der linearen (Un-) Abhängigkeit, um in der folgenden Übersicht die noch ausstehenden Bedingungen zu formulieren.

Bedingung	Beispiel	Bild des Einheitswürfels
...	$α : \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 0.5 & 0 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}}$	Der 3D-Einheitswürfel wird auf einen 3D-Körper abgebildet.
...	$α : \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 0.5 & 0 & - 0.5 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}}$	Der 3D-Einheitswürfel wird auf eine 2D-Fläche abgebildet.
...	$α : \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 0.5 & 0.5 & - 0.5 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}}$	Der 3D-Einheitswürfel wird auf eine 1D-Strecke abgebildet.
Alle drei Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ sind Nullvektoren.	$α : \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}}$	Der 3D-Einheitswürfel wird auf einen 0D-Punkt abgebildet.

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