Vertiefung - Sonderfälle

Sonderfälle untersuchen

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Aufgabe 1

(a) Betrachte den Fall, dass in der Abbildungsmatrix $A$ zwei Spaltenvektoren identisch sind. Im folgenden Beispiel sind der erste und dritte Spaltenvektor identisch.

$\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0.5 & 0 & -0.5 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$

(b) Betrachte den Fall, dass in der Abbildungsmatrix $A$ ein Spaltenvektor Vielfaches eines anderen ist sind. Im folgenden Beispiel ist der dritte Spaltenvektor das $2$-fache des ersten Spaltenvektors.

$\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0.5 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$

(c) Betrachte den Fall, dass in der Abbildungsmatrix $A$ ein Spaltenvektor eine Linearkombination der beiden anderen Spaltenvektoren ist. Im folgenden Beispiel ist der dritte Spaltenvektor die Summe aus dem ersten und zweiten Spaltenvektor.

$\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -0.5 & 0 & -0.5 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$

(d) Betrachte den Fall, dass in der Abbildungsmatrix $A$ ein Spaltenvektor der Nullvektor ist und die beiden anderen keine Vielfache voneinander sind.

$\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0.5 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$

(e) Betrachte den Fall, dass in der Abbildungsmatrix $A$ alle drei Spaltenvektoren paarweise Vielfache voneinander sind.

$\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -0.5 & 0.5 & -0.5 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$

(f) Betrachte den Fall, dass in der Abbildungsmatrix $A$ zwei der drei Spaltenvektoren Nullvektoren sind.

$\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -0.5 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$

(g) Betrachte den Fall, dass die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ alle Nullvektoren sind.

$\alpha: \underbrace{\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}}_{\vec{x}\:'} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{A} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\vec{x}} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec{v}}$

Aufgabe 2

Analysiere die Beispiele in Aufgabe 1. Welche Bildobjekte sind möglich, wenn man einen Einheitswürfel mit einer affinen 3D-Abbildung abbildet? Betrachte selbst weitere Beispiele. Fasse die Ergebnisse deiner Untersuchungen zusammen.