Strukturierung - 3D-Koordinatensysteme

Ein 3D-Koordinatensystem verwenden

3D-Koordinatensysteme ermögliches es, die Lage von Punkten im 3D-Raum mit Zahlenangaben präzise zu beschreiben.

Aufgabe 1

Im folgenden Applet ist ein Punkt $P$ mit seinen Koordinaten zu sehen. Erläutere, wie die Koordinaten gebildet werden.

Die Lage des Punktes $P$ kann man verändern. Klicke hierzu (wiederholt) auf $P$ und bewege $P$ im Koordinatensystem. Beobachte, wie sich die koordinaten von $P$ verändern.

Zum Herunterladen: koordinatenPunkt3D.ggb

Aufgabe 2

Im Applet ist ein Koordinatensystem vorgegeben. Erläutere die folgenden Konventionen, die bei der Festlegung des 3D-Koordinatensystems benutzt werden.

3D-Koordinatensystem

Ein 3D-Koordinatensystem benutzt man, um die Position von Punkten im Raum mit Hilfe von Zahlen zu beschreiben. Wir verwenden hier folgende Konventionen:

• Das Koordinatensystem besteht aus drei Achsen, mit denen man Tiefe, Breite und Höhe zu einem Bezugspunkt beschreibt.
• Die drei Achsen sind paarweise senkrecht zueinander angeordnet und schneiden sich im Ursprung (als Bezugspunkt).
• Die Achsen werden als $x_1$-Achse, $x_2$-Achse und $x_3$-Achse bezeichnet.
• Die $x_1$-Achse zeigt nach vorne, die $x_2$-Achse nach rechts und die $x_3$-Achse nach oben.

Die Lage eines Punktes kann man dann mithilfe eines Zahlentripels (Liste dreier Zahlen) darstellen. Diese Zahlen beschreiben, wie viele Einheiten man vom Ursprung aus in $x_1$-Richtung, in $x_2$-Richtung und in $x_3$-Richtung bewegen muss, um zum Punkt zu gelangen.

3D-Vektoren verwenden

Vektoren werden in der 3D-Geometrie genauso verwendet wie in der 2D-Geometrie. Zur Verdeutlichung betrachten wir die Bewegung eines Raumschiffs im 3D-Raum.

Aufgabe 3

(a) Mache dich mit dem Applet unten vertraut und teste das Bewegen des Raumschiffs.

Zum Herunterladen: raumschiff_bewegen.ggb

(b) Im Applet werden Darstellungen der folgenden Art benutzt.

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 2\end{array}\right)\stackrel{\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)}{⟶}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Erläutere anhand solcher Darstellungen die Verwendung von Vektoren in der 3D-Geometrie.