Problemstellung
Zur Orientierung
Wenn man realitätsnahe Darstellungen einer 3D-Welt erzeugen möchte, dann spielt dabei die Darstellung von Schattenbildern eine wichtige Rolle. Ziel ist es, ein Verfahren zur Erzeugung solcher Schattenbildern zu entwickeln. Wir präzisieren hier das zu bearbeitende Problem.
Das Problem präzisieren
Erkunde das zu bearbeitende Problem anhand des folgenden Applets. Bearbeite hierzu die darunter aufgeführten Aufgaben.
Zum Herunterladen: projektion_schatten_wuerfel_0.ggb
Aufgabe 1
Betrachte zunächst die Ausgangssituatuion.
Gegeben
- Gegeben ist eine 3D-Miniwelt. Wir betrachten einfache Welten, die aus Punkten und Kanten bestehen.
- Gegeben ist auch die Richtung der Sonneneinstrahlung.
(a) Im Applet ist ein Würfel als 3D-Minwelt bereits vorgegeben. Im Applet kann man im unteren Fenster die betrachtete 3D-Minwelt verändern und selbst konfigurieren. Hierzu muss man nur die betrachteten Punkte und Kanten in den entsprechenden Eingabefeldern eintragen. Probiere das selbst aus. Setze hierzu eine Pyramidenspitze auf den Würfel.
(b) Die Richtung der Sonneneinstrahlung wird im Applet mit Hilfe eines Vektors $\vec{v}$ beschrieben und mit einen orangen Strahl verdeutlicht. Die Koordinaten des Vektors $\vec{v}$ kann man mit den Schiebereglern variieren. Probiere das selbst aus. Ändere die Sonneneinstrahlung so, dass sie weniger flach einfällt.
Aufgabe 2
Betrachte auch die gewünschte Zielsituatuion.
Gesucht
- Gesucht ist ein Verfahren zur Berechnung von Schattenpunkten.
(a) Mit dem Verfahren soll zu einem beliebigen Ausgangspunkt $X$ der zugehörige Schattenpunkt $X'$ bestimmt werden. Im Applet kannst du eine solche Berechnungssituationen exemplarisch einstellen. Bewege hierzu $X'$ und $X$ so, dass der Schattenwurf für eine Ecke des Würfels verdeutlicht wird.
(b) Im Applet ist bereits angedeutet, dass man die Berechnungen zum Schattenwurf mit einer linearen Abbildung $\alpha$ beschreiben kann. Die Lösung des Problems besteht demnach darin, die zur Sonneneinstrahlung passende Abbildungsmatrix zu bestimmen. Diese Abbildungsmatrix kann man in der Regel nicht experimentell bestimmen. Du kannst das gerne ausprobieren.
Zur Orientierung
Ziel ist es, die lineare Abbildung zum Schattenwurf herzuleiten. Wenn du fit bist, dann probiere es eigenständig. Im nächsten Abschnitt gibt es bei Bedarf Hilfestellungen.
