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Zusammenfassung - Affine Abbildungen im Raum

Affine 3D-Abbildungen

Wir betrachten Abbildungen, die jedem 3-dimensionalen Ausgangsvektor $\vec{x}$ einen Bildvektor ${\vec{x}}^{'}$ zuordnen.

$\underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} \to \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}}$

Jede solche Abbildung legt eine 3D-Abbildung bzw. eine geometrische Abbildung im Raum fest. Hierzu werden die jeweiligen Vektoren als Punkte im Raum gedeutet.

Beispiel: Drehung um $90 °$ um die $x_{3}$ -Achse mit Verschiebung um $2$ Einheiten in $x_{3}$ -Richtung

$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})}}$

Im Applet wird diese Abbildung mit Hilfe der blau dargestellten Ausgangspunkte und der rot dargestellten Bildpunkte verdeutlicht.

Zum Herunterladen: abbildung_raumschiff1.ggb

Bei der Abbildung im Applet handelt es sich um eine affine 3D-Abbildung. Solche Abbildungen sind analog zu affinen 2D-Abbildungen aufgebaut.

Affine / lineare Abbildungen im Raum

Eine affine 3D-Abbildung ist eine 3D-Abbildung $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \to (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})$ , die sich mit einer Abbildungsmatrix $A$ und einen Verschiebevektor $\vec{v}$ in der folgenden Weise beschreiben lässt:

$\underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})}}$

Eine lineare 3D-Abbildung ist eine affine 3D-Abbildung mit dem Nullvektor als Verschiebevektor:

Geometrische Deutung affiner 3D-Abbildungen

Zur Verdeutlichung verwenden wird das folgende Applet. Wir betrachten exemplarisch die im Applet vorgegebene affine 3D-Abbildung $α$ .

Anleitung zum Applet

In der 3D-Welt ist ein blau dargestellter Würfel mit der Kantenlänge $1$ zu sehen.
Die Abbildungsmatrix $A$ und der Verschiebevektor $\vec{v}$ einer affinen 3D-Abbildung $α$ sind bereits eingestellt.
Der rot dargestellte Körper ist das Bild des Würfels bei der vorgegebenen affinen Abbildung $α$ .
Die affine 3D-Abbildung $α$ kann man variieren, indem man andere Zahlen in die Eingabefelder zur Abbildungsmatrix $A$ und zum Verschiebevektor $\vec{v}$ eingibt.

Zum Herunterladen: affineabbildung3D.ggb

Der blaue Würfel im Applet ist ein Einheitswürfel, der von den Eckpunkten $O (0 | 0 | 0)$ , $E_{1} (1 | 0 | 0)$ , $E_{2} (0 | 1 | 0)$ und $E_{3} (0 | 1 | 0)$ aufgespannt wird.

Diese Eckpunkte werden von der vorgegebenen affinen Abbildung $α$ wie folgt abgebildet:

$\underset{O}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}} \to \underset{O^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}}; \underset{E_{1}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}} \to \underset{E_{1}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1.5 \end{matrix})}}; \underset{E_{2}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}} \to \underset{E_{2}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})}}; \underset{E_{3}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}} \to \underset{E_{3}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0.5 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})}}$

Hieraus erhält man:

$\vec{O O^{'}} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}); \vec{O^{'} E_{1}^{'}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 0.5 \end{matrix}); \vec{O^{'} E_{2}^{'}} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}); \vec{O^{'} E_{3}^{'}} = (\begin{matrix} 0.5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

Der Vektor $\vec{O O^{'}}$ beschreibt die Verschiebung des Ursprungs $O$ . Die drei Vektoren $\vec{O^{'} E_{1}^{'}}$ , $\vec{O^{'} E_{2}^{'}}$ und $\vec{O^{'} E_{3}^{'}}$ sind die Bilder der Einheitsvektoren $\vec{O E_{1}}$ , $\vec{O E_{2}}$ und $\vec{O E_{3}}$ . Sie spannen den im Applet rot dargestellten Körper auf.

Es fällt auf, dass Bilder der Einheitsvektoren $\vec{O E_{1}}$ , $\vec{O E_{2}}$ und $\vec{O E_{3}}$ mit den Spaltenvektoren von $A$ übereinstimmen. Dieser Zusammenhang gilt für beliebige affine 3D-Abbildungen.

Geometrische Deutung einer affinen 3D-Abbildung

Betrachte eine affine 3D-Abbildung $α$ :

$α : \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})}}$

(a) Deutung des Verschiebevektors

Der Vektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$ beschreibt (u.a.), wie der Koordinatenursprung $O$ abgebildet wird: $\vec{O O^{'}} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$

(a) Deutung des Verschiebevektors

Die Spaltenvektoren ${\vec{a}}_{1} = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix})$ , ${\vec{a}}_{2} = (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix})$ und ${\vec{a}}_{3} = (\begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix})$ der Abbildungsmatrix $A$ beschreiben, wie die Einheitsvektoren $\vec{O E_{1}} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{O E_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ und $\vec{O E_{3}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ abgebildet werden.

$\vec{O^{'} E_{1}^{'}} = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix}); \vec{O^{'} E_{2}^{'}} = (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix}); \vec{O^{'} E_{3}^{'}} = (\begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix})$

Sonderfälle bei affinen 3D-Abbildungen

Bei affinen Abbildungen wird der Einheitswürfel nicht immer auf einen Körper abgebildet. Das folgende Applet zeigt einen solchen Fall.

Zum Herunterladen: affineabbildung3D_sonderfall.ggb

Hier entsteht aus dem 3D-Einheitswürfel eine 2D-Fläche. Beachte, dass in der Abbildungsmatrix der erste und der zweite Spaltenvektor keine Vielfache voneinander sind und dass der dritte Spaltenvektor die Summe aus dem ersten und zweiten Spaltenvektor ist.

Mit weiteren Beispielen kann man sich überzeugen, dass folgende Fälle bei affinen 3D-Abbildungen möglich sind.

Bedingung	Beispiel	Bild des Einheitswürfels
Alle drei Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ sind linear unabhängig.	$α : \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 0.5 & 0 & 1 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}}$	Der 3D-Einheitswürfel wird auf einen 3D-Körper abgebildet.
Die drei Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ sind linear abhängig. Zwei der drei Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ sind zudem linear unabhängig.	$α : \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 0.5 & 0 & - 0.5 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}}$	Der 3D-Einheitswürfel wird auf eine 2D-Fläche abgebildet.
Die drei Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ sind paarweise linear abhängig und sie sind nicht alle Nullvektoren.	$α : \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 0.5 & 0.5 & - 0.5 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}}$	Der 3D-Einheitswürfel wird auf eine 1D-Strecke abgebildet.
Alle drei Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix $A$ sind Nullvektoren.	$α : \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})}}$	Der 3D-Einheitswürfel wird auf einen 0D-Punkt abgebildet.