Problemlösung
Zur Orientierung
Ziel ist es hier, die lineare Abbildung zur Schrägbilderzeugung herzuleiten.
Das Problem lösen
Aufgabe 1
Bestimme mit Hilfe des Applets (oder einer eigenen Skizze) die Bilder der 3D-Einheitsvektoren. Blende zunächst das 3D-Koordinatensystem ein. Bewege die Punkte $E_1$, $E_2$ und $E_3$ an die passenden Stellen ($E_2$ ist bereits richtig positioniert). Blende anschließend das 2D-Koordinatensystem ein. Du kannst dann die entsprechenden 2D-Koordinaten mit der passenden Skalierung der Koordinatenachsen ablesen.
Zum Herunterladen: koordinatensystem2d.ggb
Trage die Ergebnisse in der folgenden Übersicht ein.
| $E_1(1|0|0)$ | $E_2(0|1|0)$ | $E_3(0|0|1)$ |
|---|---|---|
| $\alpha: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\alpha: \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ | $\alpha: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ |
Aufgabe 2
Die Projektionsabbildung $\alpha$ lässt sich als lineare Abbildung der Gestalt $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x}$ beschreiben.
(a) Begründe zunächst, dass Abbildungsmatrix $A$ eine $2 \times 3$-Matrix ist:
$A = \begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$
(b) Bestimme die Komponenten der Abbildungsmatrix so, dass damit die in der Übersicht oben gezeigten Zuordnungen erzeugt werden. Trage deine Ergebnisse im Applet ein.
Zum Herunterladen: projektion_schraegbild_haus.ggb
Aufgabe 3
Recherchiere (z.B. auf Wikipedia – Axonometrie) weitere Möglichkeiten zur Erzeugung von Schrägbildern. Interessant sind u.a. die isometrische Perspektive und die Ingenieurperspektive. Entwickle für diese alternativen Ansätze passende Abbildungsbeschreibungen und teste sie im Applet oben.
