o-mathe | Problementwicklung

Problemlösung

Zur Orientierung

Ziel ist es hier, die lineare Abbildung zum Schattenwurf herzuleiten.

Das Problem fokussieren

Aufgabe 1

Verdeutliche anhand des Applets die Problembeschreibung. Erläutere insbesondere die beiden aufgelisteten Bedingungen.

Problem

Gegeben ist ein Vektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$ , der die Richtung der Sonneneinstrahlung beschreibt.

Gesucht ist eine lineare Abbildung $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x}$ , die einen beliebigen Punkt $X$ mit der Vektordarstellung $\vec{x} = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})$ auf einen Punkt $X^{'}$ mit der Vektordarstellung ${\vec{x}}^{'} = (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})$ abbildet. Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sind:

Bedingung 1: $X^{'}$ liegt in der $x_{1}$ - $x_{2}$ -Ebene; d.h. $x_{3}^{'} ==$ .
Bedingung 2: Der Vektor $\vec{X X^{'}}$ ist ein Vielfaches von $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$ ; d.h. $\vec{X X^{'}} = r \cdot \vec{v}$ mit einer reellen Zahl $r$ .

Zum Herunterladen: projektion_schatten_wuerfel_1.ggb

Das Problem bearbeiten

Aufgabe 2

Betrachte zunächst den konkreten Fall, dass die Sonneneinstrahlung mit $\vec{v} = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})$ beschrieben wird.

(a) Leite aus den beiden Bedingungen Formeln zur Bestimmung von ${\vec{x}}^{'}$ aus $\vec{x}$ her:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] & x_{1}^{'} & = & \dots \\ [2] & x_{2}^{'} & = & \dots \\ [3] & x_{3}^{'} & = & \dots \end{array}$

(b) Wandle die Formeln in (a) in eine Matrixdarstellung um und teste sie im folgenden Applet.

Zum Herunterladen: projektion_schatten_wuerfel_2.ggb

Aufgabe 3

Betrachte auch den allgemeinen Fall, dass die Sonneneinstrahlung mit $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$ beschrieben wird. Entwickle analog zum konkreten Fall eine Formel für die Projektionsmatrix $A$ der gesuchten linearen Abbildung $α : {\vec{x}}^{'} = A \cdot \vec{x}$ . Benutze diese Formel, um weitere konkrete Fälle der Sonneneinstrahlung zu testen.

Zur Kontrolle

$A = (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{v_{1}}{v_{3}} \\ 0 & 1 & - \frac{v_{2}}{v_{3}} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Aufgabe 4

Untersuche Spezialfälle der Sonneneinstrahlung (z.B. senkrecht von oben). Denke dir selbst solche Spezialfälle aus, bestimme die zugehörigen Abbildungen und teste sie im Applet oben.

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