Problemlösung
Zur Orientierung
Ziel ist es hier, die lineare Abbildung zum Schattenwurf herzuleiten.
Das Problem fokussieren
Aufgabe 1
Verdeutliche anhand des Applets die Problembeschreibung. Erläutere insbesondere die beiden aufgelisteten Bedingungen.
Problem
Gegeben ist ein Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$, der die Richtung der Sonneneinstrahlung beschreibt.
Gesucht ist eine lineare Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x}$, die einen beliebigen Punkt $X$ mit der Vektordarstellung $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ auf einen Punkt $X'$ mit der Vektordarstellung $\vec{x}' = \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}$ abbildet. Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Bedingung 1: $X'$ liegt in der $x_1$-$x_2$-Ebene; d.h. $x_3' = =$.
- Bedingung 2: Der Vektor $\overrightarrow{ XX' }$ ist ein Vielfaches von $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$; d.h. $\overrightarrow{ XX' } = r \cdot \vec{v}$ mit einer reellen Zahl $r$.
Zum Herunterladen: projektion_schatten_wuerfel_1.ggb
Das Problem bearbeiten
Aufgabe 2
Betrachte zunächst den konkreten Fall, dass die Sonneneinstrahlung mit $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ beschrieben wird.
(a) Leite aus den beiden Bedingungen Formeln zur Bestimmung von $\vec{x}'$ aus $\vec{x}$ her:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1' & = & \dots \\ [2] &\quad x_2' & = & \dots \\ [3] &\quad x_3' & = & \dots \end{array}$
(b) Wandle die Formeln in (a) in eine Matrixdarstellung um und teste sie im folgenden Applet.
Zum Herunterladen: projektion_schatten_wuerfel_2.ggb
Aufgabe 3
Betrachte auch den allgemeinen Fall, dass die Sonneneinstrahlung mit $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$ beschrieben wird. Entwickle analog zum konkreten Fall eine Formel für die Projektionsmatrix $A$ der gesuchten linearen Abbildung $\alpha: \vec{x}' = A \cdot \vec{x}$. Benutze diese Formel, um weitere konkrete Fälle der Sonneneinstrahlung zu testen.
Aufgabe 4
Untersuche Spezialfälle der Sonneneinstrahlung (z.B. senkrecht von oben). Denke dir selbst solche Spezialfälle aus, bestimme die zugehörigen Abbildungen und teste sie im Applet oben.
