Überprüfung - Affine Abbildungen im Raum

Aufgabe 1

Betrachte die folgende 3D-Abbildung:

$\alpha :\underset{\overrightarrow{x}{}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ x_3^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)}}+\underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)}}$

Ein 3D-Objekt (Raumschiff) wird mit folgenden (Orts-) Vektoren beschrieben:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

(a) Bestimme das Bild des 3D-Objekts bei der vorgegebenen 3D-Abbildung $\alpha$.

$\alpha :\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)$,
...

(b) Was leistet die 3D-Abbildung $\alpha$? Mache dir das anhand der Zordnungen aus Aufgabenteil (a) klar. Beschreibe die geometrische Abbildung in Worten.

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Aufgabe 2

Im folgenden Applet wird eine 3D-Abbildung $\alpha$ exemplarisch mit Hilfe eines 3D-Würfels und seines Bildes dargestellt.

Zum Herunterladen: affineabbildung3D.ggb

(a) Beschreibe in Worten, was die 3D-Abbildung $\alpha$ leistet.

(b) Der blaue Würfel hat die folgenden Eckpunkte:

$(1,1,2),(2,1,2),(2,2,2),(1,2,2),(1,1,3),(2,1,3),(2,2,3),(1,2,3)$

Gib einige Zuordnungen von $\alpha$ an

$\alpha :\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)$,
...

(c) Beschreibe die 3D-Abbildung $\alpha$ mit einer Vektorgleichung:

$\alpha :\underset{\overrightarrow{x}{}^{\prime }}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ x_3^{\prime }\end{array}\right)}}=\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}\dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{array}\right)}}\cdot \underset{\overrightarrow{x}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)}}+\underset{\overrightarrow{v}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)}}$

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