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Erarbeitung - Abbildung des Einheitswürfels

Zur Orientierung

Ziel ist es, ein vertiefteres Verständnis über affine 3D-Abbildungen zu entwickeln. Hierzu entwickeln wir eine geometrische Deutung der zentralen Bestandteile einer affinen 3D-Abbildung.

Abbildungen geometrisch deuten

Wir verwenden das folgende Applet.

Anleitung zum Applet

In der 3D-Welt ist ein blau dargestellter Würfel mit der Kantenlänge $1$ zu sehen.
Die Abbildungsmatrix $A$ und der Verschiebevektor $\vec{v}$ einer affinen 3D-Abbildung $α$ sind bereits eingestellt.
Der rot dargestellte Körper ist das Bild des Würfels bei der vorgegebenen affinen Abbildung $α$ .
Die affine 3D-Abbildung $α$ kann man variieren, indem man andere Zahlen in die Eingabefelder zur Abbildungsmatrix $A$ und zum Verschiebevektor $\vec{v}$ eingibt.

Zum Herunterladen: affineabbildung3D.ggb

Aufgabe 1

(a) Mache dir im Applet klar:

Der blaue Würfel ist ein Einheitswürfel, der von den Eckpunkten $O (0 | 0 | 0)$ , $E_{1} (1 | 0 | 0)$ , $E_{2} (0 | 1 | 0)$ und $E_{3} (0 | 0 | 1)$ aufgespannt wird.

(b) Berechne die Bildpunkte der in (a) genannten Eckpunkte bei der im Applet vorgegebenen affinen Abbildung $α$ . Benutze die vorgegebene Abbildungsmatrix $A$ und den vorgegebenen Verschiebevektor $\vec{v}$ .

$\begin{array}{lcl} (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) & \to & (\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}) \\ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) & \to & (\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}) \\ (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) & \to & (\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}) \\ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) & \to & (\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}) \end{array}$

(c) Bestimme auch die folgenden Vektoren. Vergleiche mit der Vektorgleichung der vorgegebenen affinen 3D-Abbildung. Beschreibe, was hier auffällt.

$\begin{array}{lcl} \vec{O O^{'}} & = & (\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}) \\ \vec{O^{'} E_{1}^{'}} & = & (\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}) \\ \vec{O^{'} E_{2}^{'}} & = & (\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}) \\ \vec{O^{'} E_{3}^{'}} & = & (\begin{array}{c} \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}) \end{array}$

(d) Deute die in (c) betrachteten Vektoren anhand des rot dargestellten Körpers im Applet.

Aufgabe 2

Formuliere das Ergebnis.

Geometrische Deutung einer affinen 3D-Abbildung

Betrachte eine affine 3D-Abbildung $α$ :

$α : \underset{\vec{x}^{'}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})}} = \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})}} \cdot \underset{\vec{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})}} + \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})}}$

(a) Deutung des Verschiebevektors:

Der Vektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$ beschreibt ...

(b) Deutung der Abbildungsmatrix:

Die Spaltenvektoren ${\vec{a}}_{1} = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix})$ , ${\vec{a}}_{2} = (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix})$ und ${\vec{a}}_{3} = (\begin{matrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix})$ der Abbildungsmatrix $A$ beschreiben ...

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