Problemlösung

Das Problem fokussieren

Aufgabe 1

Im folgenden Applet sind nur noch $X$ und $X^{\prime }$ sowie einige Hilfslinien zu sehen. Mache dich mit dem Applet vertraut. Blende hierzu die Hilfslinien aus und ein und erkläre, was sie veranschaulichen.

Zum Herunterladen: projektion3_zentralperspektive_konstruktion.ggb

Aufgabe 2

Verdeutliche anhand des Applets die Berechnungssituation.

Geg.: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$

Ges.: ${\overrightarrow{x}}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ x_3^{\prime }\end{array}\right)$ mit $x_2^{\prime }=4$

Das Problem bearbeiten

Aufgabe 3

Die Herleitung der gesuchten Koordinatengleichungen gelingt gut mit dem 2. Strahlensatz. Wiederhole mit Hilfe des folgenden Applets diesen Satz. Gib es entsprechende Strahlensatzkonstellationen in der zentralperspektivischen Bildkonstruktion? Erläutere und begründe sie kurz.

Wiederholung - 2. Strahlensatz

Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf jeweils demselben Strahl:

Zum Herunterladen: strahlensatz.ggb

Aufgabe 4

(a) Betrachte den Fall $d=4$ (zur Erinnerung: $d$ beschreibt den Abstand der Zeichenebene vom Koordinatenursprung). Betrachte die folgende Berechnungssituation:

Geg.: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 3\end{array}\right)$

Ges.: ${\overrightarrow{x}}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ x_3^{\prime }\end{array}\right)$ mit $x_2^{\prime }=4$

Berechne $x_1^{\prime }$ und $x_3^{\prime }$ mit Hilfe des 2. Strahlensatzes.

(b) Betrachte ein beliebiges $d$. Leite mit Hilfe des 2. Strahlensatzes Formeln für $x_1^{\prime }$ und $x_3^{\prime }$ her. Auf der rechten Seite der Formeln dürfen nur $d$ und die Koordinaten von $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$ vorkommen.

$\begin{array}{lrcr}[1]& x_1^{\prime }& =& \dots \\ [2]& x_2^{\prime }& =& d\\ [3]& x_3^{\prime }& =& \dots \end{array}$

(c) Trage die Formeln für das gewählte $d$ (z.B. $d=4$) in die Eingabefelder im folgenden Applet ein. Wenn die Formeln korrekt sind, dann erscheint auf der Zeichenebene das zentralperspektivische Bild des 3D-Objekts.

Zum Herunterladen: projektion3_zentralperspektive_turm_eingabe.ggb

Aufgabe 5

Warum sind die Abbildungen zur zentralperspektivischen Konstruktion keine linearen bzw. affinen Abbildungen? Begründe mit den Eigenschaften von linearen bzw. affinen Abbildungen.