Exkurs: Das Geburtstagsproblem

Themenbereich in Bearbeitung

Das Problem

Wir betrachten eine Gruppe von $k$ Personen.
Dabei ist folgende Leitfrage interssant:

Zunächst nehmen wir folgende Vereinfachungen vor:

• wir nehmen an, dass ein Jahr aus 365 Tagen besteht.
• wir nehmen an, dass die Wahrscheinlichkeit an einem bestimmten Tag geboren zu werden für alle Tage gleich ist.
• wir nehmen an, dass sich in der Gruppe keine Zwillinge befinden.

Aufgabe

(a) Bestimme die Anzahl aller Möglichkeiten für die Verteilung der Geburtstage von $k$ Personen auf 365 Tage.

Tipp

Im Fall von $2$ Personen gibt es $365$ mögliche Geburtstage für Person 1 und ebenfalls $365$ mögliche Geburtstage für Person 2.
Also insgesamt $365\cdot 365={365}^2$ viele Möglichkeiten.

Im Fall von $3$ Personen gibt es $365$ mögliche Geburtstage für Person 1, $365$ mögliche Geburtstage für Person 2 und $365$ mögliche Geburtstage für Person 3.
Also insgesamt $365\cdot 365\cdot 365={365}^3$ viele Möglichkeiten.

(b) Bestimme die Anzahl aller Möglichkeiten dafür, dass es keinen Tag gibt, an dem mindestens $2$ Personen der Gruppe aus $k$ Personen Geburtstag haben.

Tipp

Für Person 1 gibt es $365$ mögliche Geburtstage.
Person 2 darf somit nicht an dem Tag Geburtstag haben, an dem Person 1 geboren wurde. Sie hat noch $364$ mögliche Tage.
Person 3 darf nicht an dem Tag von Person 1 und nicht an dem Tag von Person 2 Geburtstag haben. Für sie gibt es also $363$ mögliche Tage.

(c) Wir betrachten folgende Ereignisse:

• $A$: Es gibt einen Tag, an dem mindestens $2$ Personen einer Gruppe aus $k$ Personen Geburtstag haben.
• $\stackrel{\phantom{A}}{A}$: Es gibt keinen Tag, an dem mindestens $2$ Personen einer Gruppe aus $k$ Personen Geburtstag haben.

Leite eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit $P(A)$ her.

Tipp

Leite die Formel über das Gegenereignis $\stackrel{\phantom{A}}{A}$ her.

Tipp

Da die Wahrscheinlichkeit - an einem bestimmten Tag geboren zu werden - für alle Tage gleich ist, liegt hier ein Laplace-Modell vor.

Kontrolle

$P(A)=1-{\displaystyle \frac{365!}{(365-k)!\cdot {365}^k}}$

Einige Taschenrechner können "große" Fakultäten wie z. B. $365!$ nicht darstellen.
Deshalb führen wir folgende Umformung durch, um die berechnete Formel (für nicht zu große Werte von $k$) im Taschenrechner eingeben zu können:

$P(A)=1-{\displaystyle \frac{365!}{(365-k)!\cdot {365}^k}}$

= $1-{\displaystyle \frac{365!\cdot k!}{(365-k)!\cdot k!\cdot {365}^k}}$

= $1-\left(\begin{array}{c}365\\ k\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{k!}{{365}^k}}$

(d) Berechne die Anzahl $k$ an Personen, die sich in der Gruppe befinden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, größer als $50\mathrm{\%}$ ist.

Zusatzaufgabe

(a) Berechne die Anzahl $k$ an Personen, die sich in der Gruppe befinden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, größer als $70\mathrm{\%}$ ist.

(b) Betrachte eine Gruppe, die aus der in Teil (a) berechneten Anzahl an Personen besteht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in dieser Gruppe zwei Personen einen bestimmten Geburtstag z. B. den 01.01. teilen.

(c) Vergleiche dein Ergebnis aus Teil (b) mit dem Ergebnis aus Teil (a). Was fällt dir auf?
Begründe deinen Befund.

Quellen

Informationen zum Geburtstagsproblem