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Vertiefung

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns weiterhin mit dieser Fragestellung:

Leitfrage

Wie viele verschiedene Ergebnisse sind bei Urnenziehungen, unter Berücksichtigung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln, möglich?
Dabei betrachten wir zwei Fälle:

das Ziehen von Kugeln mit Zurücklegen
das Ziehen von Kugeln ohne Zurücklegen

Ergebnisse von solchen Urnenziehungen, bei denen die Reihenfolge der Teilergebnisse berücksichtigt wird, werden auch Anordnungen der Teilergebnisse genannt.

Ziel ist es, die Regeln für die Anzahl der Anordnungen mit kurzen Formeln zu beschreiben.

Eine Regel für Ziehungen mit Zurücklegen formulieren

Bei einer Urnenziehung mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge kann die Formel direkt angegeben.

Aufgabe 1

Ergänze die folgende Regel:

In einer Urne befinden sich $n$ durchnummerierte (bzw. unterscheidbare) Kugeln. Es wird $k$ -mal eine Kugel gezogen und wieder in die Urne zurückgelegt. Dann gilt für die Gesamtanzahl $N$ aller möglichen Ergebnisse (bzw. Anordnungen):

$N = \dots$

Eine Regel für Ziehungen ohne Zurücklegen formulieren

Wir betrachten jetzt Urnenziehungen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge.

Beispiel 1:

In einer Urne befinden sich $8$ unterscheidbare Kugeln. Es wird $3$ -mal eine Kugel gezogen und weggelegt. Dann gilt für die Gesamtanzahl $N$ aller möglichen Ergebnisse (bzw. Anordnungen):

$N = 8 \cdot 7 \cdot 6$

Beispiel 2:

In einer Urne befinden sich $5$ unterscheidbare Kugeln. Es wird $5$ -mal eine Kugel gezogen und weggelegt. Dann gilt für die Gesamtanzahl $N$ aller möglichen Ergebnisse (bzw. Anordnungen):

$N = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Für Produkte der Gestalt $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ gibt es eine vereinfachte Schreibweise.

Mit $n!$ (gelesen: „n Fakultät“) wird das Produkt aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$ beschrieben.

Beispiel:

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Allgemein:

$n! = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$

Aufgabe 2

Ergänze die folgende Regel:

In einer Urne befinden sich $n$ unterscheidbare Kugeln. Es wird $n$ -mal eine Kugel gezogen und weggelegt (d.h.: alle Kugeln werden nach und nach gezogen). Dann gilt für die Gesamtanzahl $N$ aller möglichen Ergebnisse (bzw. Anordnungen):

$N = \dots$

Aufgabe 3

Begründe die folgende Regel (evtl. anhand eines typischen Beispiels):

In einer Urne befinden sich $n$ unterscheidbare Kugeln. Es wird $k$ -mal eine Kugel gezogen und weggelegt. Dann gilt für die Gesamtanzahl $N$ aller möglichen Ergebnisse (bzw. Anordnungen):

$N = \frac{n!}{(n - k)!}$

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