Vertiefung

Eigenschaften des Binomialkoeffizienten beschreiben

Aufgabe 1

Betrachte die beiden folgenden Darstellungen von Binomialkoeffizienten:

$\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}={\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}={\displaystyle \frac{8!}{3!\cdot 5!}}}}$

$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)={\displaystyle \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}={\displaystyle \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}={\displaystyle \frac{7!}{4!\cdot 3!}}}}$

Ergänze analog die folgenden Darstellungen:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=$

$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=$

$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=$

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=$

Aufgabe 2

Begründe die folgenden Zusammenhänge:

$\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right)$

Aufgabe 3

Begründe die folgende Regel:

$\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=1$