Vertiefung

Eigenschaften des Binomialkoeffizienten beschreiben

Aufgabe 1

Betrachte die beiden folgenden Darstellungen von Binomialkoeffizienten:

$\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \displaystyle{\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \displaystyle{\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \quad \cdot \quad 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \quad \cdot \quad 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \displaystyle{\frac{8!}{3! \cdot 5!}}$

$\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} = \displaystyle{\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \displaystyle{\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \quad \cdot \quad 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \quad \cdot \quad 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \displaystyle{\frac{7!}{4! \cdot 3!}}$

Ergänze analog die folgenden Darstellungen:

$\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = $

$\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} = $

$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = $

$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = $

Aufgabe 2

Begründe die folgenden Zusammenhänge:

$\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix}$

Aufgabe 3

Begründe die folgende Regel:

$\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} = 1$