Erarbeitung
Eine vereinfachte Situation betrachten
Statt der üblichen Ziehung „6 aus 49“ betrachten wir hier die etwas überschaubarere Ziehung „3 aus 8“. In der Lottotrommel befinden sich also 8 Kugeln, die von 1 bis 8 durchnummeriert sind. Aus der Lottotrommel werden nacheinander 3 Kugeln gezogen und für alle sichtbar zur Seite gelegt. Die Reihenfolge der Kugelnummern soll für das Ergebnis keine Rolle spielen.
Es ergibt sich folgende Frage:
Leitfrage: Wie viele verschiedene Ergebnisse bzw. Auswahlmöglichkeiten gibt es bei der Ziehung „3 aus 8“, wenn die Reihenfolge der gezogenen Kugeln nicht berücksichtigt wird und die Kugeln bei dieser Ziehung nicht in den Behälter zurückgelegt werden?
Die Anzahl möglicher Anordnungen bestimmen
Aufgabe 1
Bestimme die Anzahl der Anordnungen bei einer Urnenziehung ohne Zurücklegen der Kugeln mit Berücksichtigung der Reihenfolge für den oben beschriebenen Fall.
Kontrolle
Das folgende Applet kennst du bereits aus dem vorangehenden Kapitel. Du musst hierzu nur die Gesamtanzahl der Kugeln und die Anzahl der Ziehungen richtig einstellen.
Zum Herunterladen: zozmr_lotto.ggb
Die Anzahl der Anordnungen zur gleichen Auswahl bestimmen
Aufgabe 2
Wie viele Anordnungen führen zur selben Auswahl? Bestimme diese Anzahl für eine beliebige Anordnung wie z.B. $(1, 4, 5)$. Die möglichen Anordnungen kannst du alle selbst auflisten und dann mit dem folgenden Applet in der Kontrolle auf ihre Vollständigkeit überprüfen.
Kontrolle
Zum Herunterladen: permutationen.ggb
Anleitung für das Applet
- Eine mögliche Anordnung (Permutation) der vorgegebenen Zahlen erhältst du, indem du die entsprechenden Schaltflächen anklickst.
- Nach einer erzeugten Anordnung der Zahlen sollst du diesen Prozess solange wiederholen, bis du alle möglichen Anordnungen gefunden hast.
- Die erzeugten Anordnungen werden alle in einem Baumdiagramm dargestellt.
Die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten bestimmen
Aufgabe 3
Bestimme mit den Ergebnissen der beiden vorangehenden Aufgaben die Anzahl $N$ der Auswahlmöglichkeiten beim „6 aus 49“-Lotto
Kontrolle
$N = \displaystyle{\frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 13983816 $
