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Zusammenfassung - Anordnungsmöglichkeiten

Objekte kombinieren

Es gibt zahlreiche Problemstellungen, bei denen es um Kombinationsmöglichkeiten von Objekten geht. Wir beschäftigen uns hier mit folgender Fragestellung:

Leitfrage

Wie wird bei einem mehrstufigen Entscheidungsprozess die Gesamtanzahl der möglichen Kombinationen der Teilergebnisse bestimmt?

Das folgende Beispiel verdeutlich das Vorgehen anhand eines alltagsnahen Kontexts:

Kleidungsstücke kombinieren

Anleitung für das Applet:

Die jeweilige Anzahl der T-Shirts, Jeans und Sneaker kannst du mit den Schiebereglern einstellen.
Das Baumdiagramm verdeutlich die sich ergebenden Kombinationsmöglichkeiten.

Zum Herunterladen: zaehlverfahren2.ggb

Mit Hilfe von Baumdiagrammen erhältst du direkt:

Anzahl der Möglichkeiten der 1. Stufe	Anzahl der Möglichkeiten der 2. Stufe	Anzahl der Möglichkeiten der 3. Stufe	Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse
$3$	$1$	$2$	$6$
$5$	$3$	$4$	$60$
$1$	$1$	$3$	$3$
$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{3}$	$N = n_{1} \cdot n_{2} \cdot n_{3}$

Es ergibt sich somit folgende Regel:

Zählregel:

Wenn es bei einem mehrstufigen Entscheidungsprozess $n_{1}$ Möglichkeiten für die 1. Entscheidungsstufe, $n_{2}$ Möglichkeiten für die 2. Entscheidungsstufe und $n_{3}$ Möglichkeiten für die 3. Entscheidungsstufe gibt, dann gibt es insgesamt $N = n_{1} \cdot n_{2} \cdot n_{3}$ Kombinationsmöglichkeiten der jeweiligen Teilentscheidungen.

Urnenmodelle verwenden

Mehrstufige Entscheidungsprozesse lassen sich sehr gut mit Urnenziehungen simulieren. Im Folgenden betrachten wir Urnenmodelle, die immer wieder bei Zählvorgängen benutzt werden können.

Urnen werden immer mit irgendwelchen Gegenständen gefüllt (z. B. Zettel, Kugeln, ...). Wir gehen hier immer davon aus, dass die Gegenstände unterscheidbar sind (z. B. durch die Beschriftung bei Zetteln, durch eine Farbe oder Nummerierung bei Kugeln, ...).
Zur Vereinfachung betrachten wir nur Situationen, in denen nummerierte Kugeln in die Urnen gefüllt werden. Die Nummern stehen dabei je nach Kontext für unterschiedlichste Gegenstände.

Zudem beschränken wir uns hier auf Urnenziehungen, bei denen die Reihenfolge der gezogenen Objekte berücksichtigt wird. Im nächsten Kapitel betrachten wir dann Urnenziehungen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Die Tabelle verdeutlicht einige wichtige Urnenmodellen anhand konkreter Anwendungssituationen:

Vorgang in der Realität	Simulation mit einem Urnenmodell
Tippschein zum Fußballtoto: Hier wird bei jedem Spiel ein Kreuz gesetzt.	Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
Tippschein beim Pferderennen: Hier wird für jeden Platz ein Kreuz gesetzt.	Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
Auslosung einer Reihenfolge: Beim Poetry-Slam-Wettbewerb wird die Reihenfolge der Auftritte der Teilnehmer(innen) ausgelost.	Ziehen aller Kugeln ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge

In allen hier aufgeführten Urnenmodellen wird die Reihenfolge der gezogenen Kugeln berücksichtigt. Mit Hilfe von Urnenziehungen wird dabei jeweils eine Anordnung von Objekten (hier: Kugelnummern) gebildet.

Wir betrachten dabei Urnenmodelle mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen der gezogenen Kugeln. Das führt zu Anordnungen mit und ohne Wiederholungen.

Im Urnenmodell 3 werden – anders als im Urnenmodell 2 – alle Kugeln aus der Urne gezogen. Als Ergebnis der Ziehung erhalten wir alle Kugelnummern in einer beliebigen Reihenfolge. Eine solche Anordnung aller betrachteten Objekte wird auch Permutation der Objekte genannt.

Anzahl möglicher Anordnungen

Mit Hilfe der oben beschriebenen Zählregel kann die Anzahl möglicher Anordnungen (bzw. Ziehungsergebnisse) bei den betrachteten Urnenmodellen direkt bestimmt werden.

Urnenmodell	Anzahl der möglichen Ziehungen (Anordnungen)
Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge	Anzahl der möglichen Teilergebnisse: 1. Ziehung: $3$ 2. Ziehung: $3$ ... 6. Ziehung: $3$ Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{6}$
Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge	Anzahl der möglichen Teilergebnisse: 1. Ziehung: $9$ 2. Ziehung: $8$ 3. Ziehung: $7$ Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse: $9 \cdot 8 \cdot 7$
Ziehen aller Kugeln ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge	Anzahl der möglichen Teilergebnisse: 1. Ziehung: $4$ 2. Ziehung: $3$ 3. Ziehung: $2$ 4. Ziehung: $1$ Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Die Ergebnisse in der Übersicht lassen sich allgemein wie folgt beschreiben:

Urnenmodell: Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge

Aus einer Urne mit $n$ durchnummerierten Kugeln wird $k$ -mal eine Kugel mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen. Für die Anzahl $N$ der verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten gilt:

$N = \underset{k mal}{\underset{⏟}{n \cdot n \cdot \dots \cdot n}} = n^{k}$

Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge

Aus einer Urne mit $n$ durchnummerierten Kugeln wird $k$ -mal eine Kugel ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen. Für die Anzahl $N$ der verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten gilt:

$N = \underset{k mal}{\underset{⏟}{n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}}$

Urnenmodell: Ziehen aller Kugeln ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge

Aus einer Urne mit $n$ durchnummerierten Kugeln wird $n$ -mal eine Kugel ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen. Für die Anzahl $N$ der verschiedenen Permutationen der Kugelnummern gilt:

$N = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 1$

Die Fakultätsschreibweise verwenden

Für Produkte der Gestalt $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ gibt es eine vereinfachte Schreibweise.

Mit $n!$ (gelesen: „n Fakultät“) wird das Produkt aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$ beschrieben.

Beispiel:

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Allgemein:

$n! = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$

Sonderfall:

$0! = 1$

Mit Hilfe der Fakultätsschreibweise lässt sich die Anzahl von Permutationen folgendermaßen formulieren:

$N = n!$

Die folgende Umformung zeigt, dass auch Produkte der Gestalt $9 \cdot 8 \cdot 7$ mit Hilfe von Fakultäten beschrieben werden können:

$9 \cdot 8 \cdot 7 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{9!}{6!} = \frac{9!}{(9 - 3)!}$

Hieraus ergibt sich die folgende alternative Beschreibung der Anzahl von Anordnungsmöglichkeiten:

$N = \frac{n!}{(n - k)!}$

Übersicht

Hier nochmal alle Ergebnisse in einer Übersicht:

Urnenziehung	Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten
Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Beispiel: Allgemein: $k$ -mal eine Kugel ziehen aus einer Urne mit $n$ durchnummerierten Kugeln	Beispiel: $N = 5^{3}$ Allgemein: $N = n^{k}$
Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Beispiel: Allgemein: $k$ -mal eine Kugel ziehen aus einer Urne mit $n$ durchnummerierten Kugeln	Beispiel: $N = 5 \cdot 4 \cdot 3$ Allgemein: $N = \underset{k mal}{\underset{⏟}{n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}}$
Ziehen aller Kugeln ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge Beispiel: Allgemein: $n$ -mal eine Kugel ziehen aus einer Urne mit $n$ durchnummerierten Kugeln	Beispiel: $N = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5!$ Allgemein: $N = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 = n!$