Erarbeitung
Die Anzahl von Auswahlmöglichkeiten bestimmen
Jede Auswahl kann mit einem Urnenexperiment (mit durchnummerierten Kugeln) ohne Zurücklegen der Kugeln und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln simuliert werden. Es reicht daher, wenn wir im Folgenden nur Urnenziehungen betrachten.
Wir greifen auf die Betrachtungen aus dem letzten Kapitel zurück. Beim „$3$ aus $8$“-Lotto werden $3$ Kugeln aus einer Urne mit $8$ durchnummerierten Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen.
Die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten bestimmen wir, indem
- wir von der Anzahl der möglichen Anordnungen beim Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge ausgehen
- und dann durch die Anzahl der Permutationen einer Anordnung (die alle zur selben Auswahl führen) dividieren.
Für solche Quotienten führen wir folgende Kurzschreibweise ein:
$\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \displaystyle{\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}}$ (gelesen: „$8$ über $3$“)
Aufgabe 1
Bestimme analog die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten. Benutze dabei auch die neue Schreibweise.
| Urnenziehung (bzw. Auswahl) | Anzahl der Auswahlmöglichkeiten |
|---|---|
| $3$ aus $8$ | $\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \displaystyle{\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56}$ |
| $3$ aus $6$ | |
| $2$ aus $5$ | |
| $4$ aus $10$ | |
| $6$ aus $10$ | |
| $1$ aus $3$ | |
| $3$ aus $3$ | |
| $6$ aus $49$ |
Aufgabe 2
Ergänze die allgemeine Formel $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ in der folgenden Definition:
Mit $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ (gelesen: „$n$ über $k$“) wird ein Quotient bestehend aus Produkten von natürlichen Zahlen beschrieben. Hierbei sind $k$ und $n$ zwei natürliche Zahlen mit $k \leq n$.
Beispiel:
$\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \displaystyle{\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}}$
Allgemein:
$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \displaystyle{\frac{\ldots}{\ldots}}$
Solche Ausdrücke werden Binomialkoeffizienten genannt.
Für den Fall $k = 0$ ist der Binomialkoeffizient so festgelegt:
$\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = 1$
Kontrolle
$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \displaystyle{\frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdot \ldots \cdot 1}}$Auf Taschenrechnern ist oft eine Taste mit der Aufschrift [nCr] (für „$n$ choose $r$“) zur Berechnung von Binomialkoeffitienten vorhanden.
