Anzahl der Nullstellen
Mit einem Applet experimentieren
Wir bearbeiten hier das folgende Problem:
Problem:
Wie viele Nullstellen hat eine ganzrationale Funktion?
Wir gehen experimentell vor und nutzen das folgende Nullstellentool.
Zum Herunterladen: nullstellentool3.ggb
Mit den Aufgaben kannst du zentrale Zusammenhänge herausfinden.
Aufgabe 1
(a) Gib die bereits vorgegebenen ganzrationalen Funktionen der ersten drei Tabellenzeilen im Nullstellentool ein und bestimme jeweils den Grad der ganzrationalen Funktion und die Anzahl der Nullstellen.
(b) Bestimme passende ganzrationale Funktionen in den weiteren Tabellenzeilen. Überprüfe jeweils mit dem Nullstellentool.
(c) Formuliere eine erste Vermutung.
| ganzrationale Funktion | Grad | Anzahl der Nullstellen |
| $f(x) = x-1$ | ||
| $f(x) = 2(x-1)(x+2)$ | ||
| $f(x) = (-0.1)x(x+2)(x+5)$ | ||
| 4 | 4 | |
| 5 | 5 | |
| 6 | 6 |
Aufgabe 2
Wir betrachten ganzrationale Funktionen vom Grad 2 genauer. Die kennst du bereits aus der Mittelstufe, das sind die quadratischen Funktionen.
(a) Bestimme in den ersten 3 Tabellenzeilen jeweils die Anzahl der Nullstellen.
(b) Bestimme passende ganzrationale Funktionen in den weiteren Tabellenzeilen. Überprüfe jeweils mit dem Nullstellentool.
(c) Formuliere eine Vermutung für ganzrationale Funktionen vom Grad 2.
| ganzrationale Funktion | Grad | Anzahl der Nullstellen |
| $f(x) = 2(x-1)(x+2)$ | 2 | |
| $f(x) = 0.5(x-1)^2$ | 2 | |
| $f(x) = x^2+1$ | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 2 | 1 | |
| 2 | 0 |
Aufgabe 3
Wir betrachten ganzrationale Funktionen vom Grad 3 genauer. Das sind die kubischen Funktionen.
(a) Bestimme in den ersten 3 Tabellenzeilen jeweils die Anzahl der Nullstellen.
(b) Bestimme passende ganzrationale Funktionen in den weiteren Tabellenzeilen. Überprüfe jeweils mit dem Nullstellentool.
(c) Formuliere eine Vermutung für ganzrationale Funktionen vom Grad 3.
| ganzrationale Funktion | Grad | Anzahl der Nullstellen |
| $f(x) = (x-1)(x+2)(x+2.5)$ | 3 | |
| $f(x) = 0.5(x-1)^2(x+1)$ | 3 | |
| $f(x) = (x-4)^3$ | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 3 | 2 | |
| 3 | 1 |
Aufgabe 4
Wir betrachten ganzrationale Funktionen vom Grad 4 genauer.
(a) Bestimme in den ersten 5 Tabellenzeilen jeweils die Anzahl der Nullstellen.
(b) Bestimme passende ganzrationale Funktionen in den weiteren Tabellenzeilen. Überprüfe jeweils mit dem Nullstellentool.
(c) Formuliere eine Vermutung für ganzrationale Funktionen vom Grad 4.
| ganzrationale Funktion | Grad | Anzahl der Nullstellen |
| $f(x) = (x-1)(x+2)(x+2.5)(x-2)$ | 4 | |
| $f(x) = 0.5(x-1)^2(x+1)(x-3)$ | 4 | |
| $f(x) = (x-1)^2(x+1)^2$ | 4 | |
| $f(x) = x(x-1)^3$ | 4 | |
| $f(x) = (x^2+4)(x^2+2)$ | 4 | |
| 4 | 4 | |
| 4 | 3 | |
| 4 | 2 | |
| 4 | 1 | |
| 4 | 0 |
Aufgabe 5
(a) Kann eine ganzrationale Funktion vom Grad 2 mehr als 2 Nullstellen haben? Argumentiere mit Hilfe der Graphen.
(b) Kann eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 (bzw. n) mehr als 3 (bzw. n) Nullstellen haben? Formuliere eine Vermutung.
Zusammenhänge formulieren
Wir fassen die oben gewonnenen Erkenntnisse zusammen:
Nullstellensatz für ganzrationale Funktionen:
Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchsten $n$ Nullstellen.
Aufgabe 6
Begründe: Den Nullstellensatz für ganzrationale Funktionen haben wir hier nicht bewiesen. Wir haben ihn nur mit vielen Beispielen plausibel gemacht.
