Das Optimierungsproblem
Das Material zur Herstellung von Getränkekartons betrachten
Wer Getränkekartons herstellt verbraucht Material - in der Regel kunststofflaminierten Karton, der auf der Innenseite nochmal beschichtet ist. Natürlich will ein Hersteller von Getränkekartons möglichst wenig Material für seine Produkte verwenden. Wir werden dieses Optimierungsproblem im Folgenden bearbeiten, zuerst in einer vereinfachten Form und dann in einer realitätsnahen Version.
Wir betrachten hier Getränkekartons, die eine Quaderform mit einer quadratischen Grundfläche haben. Solche Getränkekartons werden häufig bei Milch- oder Fruchtsafttüten benutzt.
Zur Vereinfachung lassen wir vorerst den oberen Teil mit dem Ausguss außer Acht. Auch die Teile, die man zum Verkleben von benachbarten Seiten benötigt, berücksichtigen wir vorerst nicht. Übrig bleibt ein Quader mit einer quadratischen Grundfläche. Die Länge der Grundseite bezeichnen wir mit $x$, die Höhe des Quaders mit $h$.
Aufgabe 1
Betrachte eine quaderförmige Getränketüte mit 1 Liter Getränkeinhalt. Beachte, dass 1 Liter dem Volumen von $1000$ cm3 entspricht.
(a) In der Tabelle ist bereits in der ersten Zeile die Seitenlänge $x = 5$ [cm] vorgegeben. Ergänze die weiteren Einträge. Bestimme hierzu zunächst die Höhe $h$ so, dass das vorgegebene Volumen erreicht wird. Bestimme anschließend die zugehörige Oberfläche des Quaders.
(b) Ergänze mindestens 4 weitere Zeilen in der Tabelle.
(c) Entwickle passende Formeln zur Berechnung von $h$ und $O$, wenn $x$ vorgegeben ist.
| x [Seitenlänge in cm] | h [Höhe in cm] | V [Volumen in cm3] | O [Oberfläche in cm2] |
|---|---|---|---|
| 5 | ... | 1000 | ... |
| ... | ... | 1000 | ... |
| ... | ... | 1000 | ... |
| ... | ... | 1000 | ... |
| ... | ... | 1000 | ... |
Mit dem Applet kannst du deine berechneten Werte kontrollieren. Bewege hierzu den Punkt an der unteren Ecke des Quaders.
Zum Herunterladen: milchtuete1.ggb
Das Optimierungsproblem präzisieren
Die Wertetabelle und das zugehörige Applet verdeutlichen sehr gut, dass quadratische Quader mit einem festen Volumen von $1000$ [cm3] und mit unterschiedlicher Grundseitenlänge sich (in aller Regel) in ihren Oberflächen unterscheiden. Es ergibt sich das folgende Optimierungsproblem.
Optimierungsproblem ("optimale Getränketüte"): Wie muss man eine quaderförmige 1-Liter-Getränketüte mit quadratischer Grundfläche dimensionieren, um eine minimale Oberfläche zu erhalten?
Aufgabe 2
Kläre folgende Fragen zum Optimierungsproblem:
- Welche Größe wird hier (im Applet) variiert und führt so zu unterschiedlichen Quadern?
- Welche Größe soll optimiert (hier minimiert) werden?
- Welche zusätzliche Bedingung müssen alle Quader erfüllen?
Aufgabe 3
Stelle eine Vermutung über die optimale Grundseitenlänge mit Hilfe dem Applet auf. Erkläre, warum es sich hier nur um eine Vermutung handelt.
Aufgabe 4
Das Optimierungsproblem lässt sich auch exakt lösen. Entwickle ein Strategie, wie man hier vorgehen könnte. Nutze die in den vorangehenden Kapiteln entwickelten Verfahren.
Wenn du fit bist, dann löse das Optimierungsproblem jetzt selbstständig. Weitere Hilfen gibt es in den nächsten Abschnitten.
