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Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen

Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen betrachten

Im letzten Abschnitt hast du sicher herausgefunden, welche Eigenschaft eine ganzrationale Funktion haben muss, damit ihr Graph achsensymmetrisch zur $y$ -Achse bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Zum Herunterladen: plotter_symmetrie.ggb

Beispiele für ganzrationale Funktionen, deren Graphen achsensymmetrisch zur $y$ -Achse sind:

$f (x) = 0.5 x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 0.5 x^{4} - 2 x^{2} + 1 x^{0}$
$f (x) = x^{6} + 3 x^{2}$
$f (x) = - x^{4} - 3 = - x^{4} - 3 x^{0}$

Beispiele für ganzrationale Funktionen, deren Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung $(0 | 0)$ sind:

$f (x) = x^{3} - 3 x$
$f (x) = - 2 x^{5} + 3 x$
$f (x) = x^{7} - 5 x^{5} + 2 x^{3} - x$

Die Symmetrieeigenschaften der Graphen ganzrationaler Funktionen hängen davon ab, welche Potenzfunktionen darin vorkommen. Wir formulieren den Zusammenhang als mathematischen Satz.

Wenn in einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit geraden Exponenten vorkommen, dann ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

Wenn in einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit ungeraden Exponenten vorkommen, dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung $(0 | 0)$ .

Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen begründen

Zur Begründung nutzen wir die folgende Argumentationsbasis.

Der Graph der Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse genau dann, wenn gilt:
$f (- x) = f (x)$ .

Der Graph der Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung $(0 | 0)$ genau dann, wenn gilt:
$f (- x) = - f (x)$ .

Aufgabe 1

Führe den Nachweis der Symmetrieeigenschaften exemplarisch anhand folgender typischer Beispielfunktionen.

Betrachte $f (x) = 0.5 x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Es gilt: $f (- x) = 0.5 (- x)^{4} - 2 (- x)^{2} + 1 = . . .$

Also: Graph $f$ ist ...

Betrachte $f (x) = x^{7} - 5 x^{5} + 2 x^{3} - x$

Es gilt: $f (- x) = (- x)^{7} - 5 (- x)^{5} + 2 (- x)^{3} - (- x) = . . .$

Also: Graph $f$ ist ...

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