Variation des Optimierungsproblems
Ein etwas abgeändertes Optimierungsproblem lösen
Das rechteckige Gehege wird jetzt von einer langen Mauer begrenzt. Entlang dieser Mauer muss also kein Zaun gebaut werden. Nach wie vor stehen $20$ Meter Zaun zur Verfügung, um ein rechteckiges Gehege mit größt möglichem Flächeninhalt zu bauen.
Zum Herunterladen: rechtecke2.ggb
Aufgabe 1
Präzisiere das neue Optimierungsproblem.
Optimierungsproblem ("optimale Rechtecke"): Wie muss man ein Rechteck mit dem um eine Seitenlänge reduzierten Umfang von $20$ Längeneinheiten dimensionieren, um eine möglichst große Fläche zu erhalten?
Variationsgröße: Die Länge der einen Seite eines Rechtecks soll so eingestellt werden, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
Extremalbedingung: ...
Nebenbedingung: ...
Aufgabe 2
Löse das Problem mit einer passenden Zielfunktion.
Aufgabe 3
Das neue Optimierungsproblem lässt sich auch kreativ ohne Zielfunktion lösen. Man führt es auf das bereits gelöste Optimierungsproblem zurück.
Zum Herunterladen: rechtecke3.ggb
Hierzu spiegeln wir das Rechteck an der Mauerkante. Es entsteht ein neues, großes Rechteck.
(a) Begründe: Das vergrößerte Rechteck hat den doppelten Umfang und den doppelten Flächeninhalt wie das Ausgangsrechteck (mit dem reduzierten Umfang).
(b) Ergänze: Das vergrößerte Rechteck hat bei einem Umfang von $40$ Längeneinheiten einen maximalen Flächeninhalt genau dann, wenn ....
(b) Begründe: Das Ausgangsrechteck hat bei einem reduzierten Umfang von $20$ Längeneinheiten einen maximalen Flächeninhalt genau dann, wenn die Seite entlang der Mauer doppelt so lang ist wie die Seite, die senkrecht zur Mauer verläuft.
