Die Zielfunktion
Die Quaderoberfläche mit einer Funktion beschreiben
Wir bearbeiten weiterhin das folgende Optimierungsproblem.
Optimierungsproblem ("optimale Getränketüte"): Wie muss man eine quaderförmige 1-Liter-Getränketüte mit quadratischer Grundfläche dimensionieren, um eine minimale Oberfläche zu erhalten?
Variationsgröße: Die Seitenlänge der Grundfläche eines Quaders mit quadratischer Grundfläche soll so eingestellt werden, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
Extremalbedingung: Die Oberfläche des Quaders soll minimal werden.
Nebenbedingung: Das Volumen des Quaders soll 1 Liter bzw. $1000$ [cm3] betragen.
Zur Bearbeitung des Optimierungsproblems betrachten wir die Funktion, die die Veränderung der zu optimierenden Größe beschreibt:
Ausgangsgröße: die Länge $x$ der quadratischen Grundseite (die variiert werden kann)
Zugeordnete Größe: die Oberfläche $O(x)$ des Quaders zur Grundseitenlänge $x$ (die minimiert werden soll)
Man nennt diese Funktion auch Zielfunktion, da man mit ihrer Hilfe das Ziel der Optimierung beschreiben kann.
Das Applet verdeutlicht den Zusammenhang zwischen der Quaderform und der betrachteten Zielfunktion. Mit dem roten Punkt auf der $x$-Achse kannst du die Länge $x$ der Grundseite variieren.
Zum Herunterladen: milchtuete2.ggb
Die Zielfunktion bestimmen
Das Applet verdeutlicht den Zusammenhang zwischen der Quaderform und der betrachteten Zielfunktion.
Aufgabe 1
Leite mit Hilfe der Nebenbedingung eine Formel für die Höhe des Quaders her: $h = ...$.
$h = \frac{1000}{x^2}$
Aufgabe 2
(a) Erkläre, wie man zur Funktionsgleichung $O(x) = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x \cdot \frac{1000}{x^2}$ für die Oberfläche des Quaders gelangt.
(b) Gib die Definitionsmenge der Funktion $O(x)$ an. Kläre hierzu, für welche $x$-Werte ein Quader erstellt werden kann. Verdeutliche die Definitionsmenge auch am Graph der Funktion $O$.
(c) Zeige durch Ausmultiplizieren, dass man $O(x)$ aus so darstellen kann: $O(x) = 2x^2 + \frac{4000}{x} = 2x^2 + 4000x^{-1}$.
Das gesuchte Optimum bestimmen
Mit Hilfe der Zielfunktion lässt sich das Optimierungsproblem exakt lösen.
Aufgabe 3
Mit der Darstellung $O(x) = 2x^2 + 4000x^{-1}$ kannst du jetzt den Tiefpunkt von Graph $O$ bestimmen. Benutze bei Bedarf das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.
Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb
