Die Zielfunktion

Die Quaderoberfläche mit einer Funktion beschreiben

Wir bearbeiten weiterhin das folgende Optimierungsproblem.

Zur Bearbeitung des Optimierungsproblems betrachten wir die Funktion, die die Veränderung der zu optimierenden Größe beschreibt:

Man nennt diese Funktion auch Zielfunktion, da man mit ihrer Hilfe das Ziel der Optimierung beschreiben kann.

Das Applet verdeutlicht den Zusammenhang zwischen der Quaderform und der betrachteten Zielfunktion. Mit dem roten Punkt auf der $x$-Achse kannst du die Länge $x$ der Grundseite variieren.

Zum Herunterladen: milchtuete2.ggb

Die Zielfunktion bestimmen

Das Applet verdeutlicht den Zusammenhang zwischen der Quaderform und der betrachteten Zielfunktion.

Aufgabe 1

Leite mit Hilfe der Nebenbedingung eine Formel für die Höhe des Quaders her: $h=...$.

Kontrolle

Aufgabe 2

(a) Erkläre, wie man zur Funktionsgleichung $O(x)=2\cdot x^2+4\cdot x\cdot \frac{1000}{x^2}$ für die Oberfläche des Quaders gelangt.

(b) Gib die Definitionsmenge der Funktion $O(x)$ an. Kläre hierzu, für welche $x$-Werte ein Quader erstellt werden kann. Verdeutliche die Definitionsmenge auch am Graph der Funktion $O$.

(c) Zeige durch Ausmultiplizieren, dass man $O(x)$ aus so darstellen kann: $O(x)=2x^2+\frac{4000}{x}=2x^2+4000x^{-1}$.

Das gesuchte Optimum bestimmen

Mit Hilfe der Zielfunktion lässt sich das Optimierungsproblem exakt lösen.

Aufgabe 3

Mit der Darstellung $O(x)=2x^2+4000x^{-1}$ kannst du jetzt den Tiefpunkt von Graph $O$ bestimmen. Benutze bei Bedarf das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.

Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb