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Die Extremwertbestimmung

Den Hochpunkt der Zielfunktion bestimmen

Wir betrachten die Zielfunktion zum Problem "optimale Schachtel".

Zum Herunterladen: schachtelvolumenfunktion.ggb

Für diese Zielfunktion gilt: $V (x) = 4 x^{3} - 101.4 x^{2} + 623.7 x$ mit $0 < x < 10.5$ .

Den Hochpunkt von Graph $V$ erhält man mit einem Standardverfahren.

Aufgabe 1

Bestimme die Ableitungsfunktion $V^{'} (x)$ .

$V^{'} (x) = 12 x^{2} - 202.8 x + 623.7$

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstellen der Ableitungsfunktion $V^{'} (x)$ . Benutze das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.

Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb

$x \approx 4.04$ und $x \approx 12.86$

Aufgabe 3

Bestimme den Hochpunkt von Graph $V$ .

Den Hochpunkt erhält man an der Stelle $x \approx 4.04$ . Das sieht man direkt am Graph. An der Stelle $x \approx 12.86$ hat die entsprechende Funktion mit einer erweiterten Definitionsmenge einen Tiefpunkt. Beides lässt sich direkt mit der 2. Ableitung $V^{″} (x)$ nachweisen.

Die $y$ -Koordinate des Hochpunktes erhält man, indem man $x \approx 4.04$ in $V (x)$ einsetzt. Es ergibt sich der Punkt $H (4.04 | 1128.49)$ .

Aufgabe 4

Deute das Ergebnis im Kontext "Schachtelbau".

Für die Einschneidetiefe $x \approx 4.04$ [cm] bei einem DIN-A4-Blatt erhält man eine Schachtel mit einem maximalen Volumen. Dieses Volumen beträgt $V (x) \approx 1128.49$ [cm³].

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