Ein weiteres Optimierungsproblem

Ein optimales Rechteck konstruieren

Hier geht es um ein Problem ohne realen Bezug. Gegeben ist ein trapezförmiges Viereck, das wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt. In dieses Viereck soll ein Rechteck mit einem möglichst großen Flächeninhalt eingesetzt werden. Die eine Ecke des Rechtecks soll dabei auf der Verbindungstrecke von $A$ nach $B$ liegen.

Zum Herunterladen: optimalesrechteck1.ggb

Aufgabe 1

Beschreibe zunächst die Verbindungsstrecke von $A$ nach $B$ mit einer Funktion $f$ der Gestalt $f(x) = mx + b$.

Aufgabe 2

Begründe: Die Zielfunktion zur Beschreibung der zu optimierenden Größe lässt sich so beschreiben:

$A(x) = x \cdot f(x) = -0.5 x^2 + 10x$ mit $0 \leq x \leq 8$

Aufgabe 3

Zeige mit geeigneten Berechnungen, dass die Zielfunktion $A$ ihren Hochpunkt an der Stelle $x = 10$ hat.

Aufgabe 4

(a) Die Stelle $x = 10$ liegt nicht in der Definitionsmenge der Zielfunktion $A$. Was bedeutet das für das Lösen des Optimierungsproblems?

(b) Das Applet zeigt den Graph der Funktion $h$ mit $h(x) = -0.5 x^2 + 10x$. Beachte: $h(x)$ entspricht $A(x)$ ohne Berücksichtigung der Einschränkung $0 \leq x \leq 8$. Begründe: Das optimale Rechteck innerhalb des vorgegebenen Trapezes erhält man, wenn man $x = 8$ wählt.

Zum Herunterladen: zielfunktion.ggb

Aufgabe 5

Erläutere noch einmal die Schwierigkeit, die beim Lösen des vorliegenden Problems aufgetreten ist. Begründe, dass man auch die Werte der Zielfunktion an den Grenzen der Definitionsmenge berücksichtigen muss.