Bestimmung eines Hochpunktes
Eine Strategie entwickeln
Mit einer Wertetabelle lässt sich der Graph der Gewinnfunktion $g$ mit $g(x) = -x^3+9.3 x^2+21.6 x-87$ skizzieren. Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen im Koordinatensystem (hier ohne Skalierung).
Zum Herunterladen: graph_ohne_skalierung.ggb
Ziel ist es, die Koordinaten (insbesondere die $x$-Koordinate) des Hochpunktes von Graph $g$ zu bestimmen.
Aufgabe 1
(a) Zusätzlich zu Graph $g$ ist hier der Graph der Ableitungsfunktion $g'$ (in blau) eingezeichnet. Beschreibe eine Vorgehensweise, wie man den gesuchten $x$-Wert mit Hilfe der Ableitungsfunktion $g'$ bestimmen kann.
(b) Führe die Schritte zur Bestimmung des gesuchten $x$-Werts möglichst eigenständig durch. Nutze bei Bedarf die Hilfen sowie das folgende Tool zur Nullstellenstimmung (du musst den passenden Funktionsterm einsetzen).
Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb
Im Hochpunkt hat Graph $g$ die Steigung $0$. Gesucht ist also der $x$-Wert mit $g'(x) = 0$.
In einem 1. Schritt muss man die Ableitungsfunktion $g'(x)$ (mit den bekannten Regeln) bestimmen.
Man erhält $g'(x) = -3x^2 + 18.6x + 21.6$.
In einem 2. Schritt muss man die Gleichung $g'(x) = 0$ lösen. Man muss also die Nullstellen der Funktion $g'$ ermitteln.
Die entstehende Gleichung $-3x^2 + 18.6x + 21.6 = 0$ lässt sich mit einer Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen.
Wir nutzen das Tool zur Bestimmung von Nullstellen. Wenn man für $f(x)$ den Funktionsterm $-3x^2 + 18.6x + 21.6$ einsetzt und dann den Button [Nullstellen der Funktion] drückt, dann erhält man die gesuchten Stellen. Probiere das selbst aus.
Im vorliegenden Fall erhält man die Nullstellen $x = -1$ und $x = 36/5$. Der gesuchte $x$-Wert ist also $x = 36/5 = 7.2$. Der $x$-Wert $x = -1$ liegt nicht in der vorgegebenen Definitionsmenge der Funktion $g$ und kann daher ignoriert werden.
Aufgabe 2
Bestimme auch die $y$-Koordinate des Hochpunktes. Nutze den aus Aufgabe 1 bekannten $x$-Wert des Hochpunktes. Deute das Ergebnis.
Die y-Koordinate des Hochpunktes erhält man so: $g(7.2) = 177.384$. Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten $H(7.2|177.384)$.
