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Vorzeichenwechselkriterium

Aufgabe 1

Das Applet zeigt die Graphen der beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.

Zum Herunterladen: wendepunkte1.ggb

Ermittle mit den Eigenschaften dieser beiden Ableitungsfunktionen die Eigenschaften der Ausgangsfunktion $f$. Ergänze hierzu die Einträge in der Tabelle. Die beiden beweglichen Punkte kannst du auf der $x$-Achse verschieben, um dir zu markieren, welchen Intervall du aktuell betrachtest. Überprüfe abschließend deine Ergebnisse, indem du den Graph von $f$ einblendest.

(a) Monotonie und Hoch-/Tiefpunkte

Stelle / Intervall $f'(x)$ Vorzeichen/VZW Eigenschaft von $f$
$-\infty \text{ < } x \text{ < } -\sqrt{3}$ $f'(x) \text{ < } 0$ $-$ $f$ streng monoton fallend
$x = -\sqrt{3} \approx -1.73$ $f'(-\sqrt{3}) = 0$ VZW von $-$ zu $+$
$- \sqrt{3} \text{ < } x \text{ < } ...$ $f'(x) > 0$ $+$
$x = ...$
$... \text{ < } x \text{ < } ...$
$x = ...$
$... \text{ < } x \text{ < } ...$

(b) Krümmungseigenschaften und Wendepunkte

Stelle / Intervall $f''(x)$ Vorzeichen/VZW Eigenschaft von $f$
$-\infty \text{ < } x \text{ < } -1$ $f''(x) > 0$
$x = -1$ $f''(-1) = 0$
$... \text{ < } x \text{ < } ...$
$x = ...$
$... \text{ < } x \text{ < } ...$

Aufgabe 2

Das Applet zeigt die Graphen der beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.

Zum Herunterladen: wendepunkte2.ggb

Ermittle mit den Eigenschaften dieser beiden Ableitungsfunktionen die Eigenschaften der Ausgangsfunktion $f$. Ergänze hierzu die Einträge in der Tabelle. Die beiden beweglichen Punkte kannst du auf der $x$-Achse verschieben, um dir zu markieren, welchen Intervall du aktuell betrachtest. Überprüfe abschließend deine Ergebnisse, indem du den Graph von $f$ einblendest.

(a) Monotonie und Hoch-/Tiefpunkte

Stelle / Intervall $f'(x)$ Vorzeichen/VZW Eigenschaft von $f$
$-\infty \text{ < } x \text{ < } 0$ $f'(x) \text{ < } 0$
$x = 0$ $f'(0) = 0$
$... \text{ < } x \text{ < } ...$

(b) Krümmungseigenschaften und Wendepunkte

Stelle / Intervall $f''(x)$ Vorzeichen/VZW Eigenschaft von $f$
$-\infty \text{ < } x \text{ < } 2$ $f''(x) > 0$
$x = 2$ $f''(2) = 0$
$... \text{ < } x \text{ < } ...$
$x = ...$
$... \text{ < } x \text{ < } ...$

Aufgabe 3

Gegeben ist $f''$ mit

  • Version A: $f''(x) = 6x$
  • Version B: $f''(x) = 6(x+1) \cdot (x-1)$

Ziel ist es jeweils, die Wendepunkte von Graph $f$ zu bestimmen.

(a) Bestimme die Nullstellen von $f''$ - die kann man hier direkt ablesen - und ermittle mit passenden Kriterien die Krümmungseigenschaften von $f$ sowie die genauen Koordinaten der Wendepunkte von $f$. Stelle die Überlegungen in einer Übersicht dar.

Zur Ausführung von Berechnungen kannst du den folgenden Funktionswerteberechner nutzen.

Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb

(b) Zur Kontrolle soll Graph $f$ mit einem Plotter gezeichnet werden. Bestimme einen Funktionsterm für $f(x) = ...$, so dass $f''(x) = 6x$ (für Version A) bzw. $f'(x) = 6(x+1) \cdot (x-1) = 6x^2 - 6$ (für Version B) gilt. Du musst hierzu die Funktion $f''$ zweimal "aufleiten". Gib dann die Funktion $f$ mit einem passenden Bereich in den Plotter ein.

Zum Herunterladen: plotter2.ggb

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