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Bestimmung von Wendepunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium

Die Ausgangssituation

Wir betrachten folgendes Problem.

geg.: $f(x) = \frac{1}{324}x^4 - \frac{5}{81}x^3 + \frac{8}{27}x^2 - \frac{7}{162}x + \frac{109}{81}$

ges.: Wendepunkte von $f$

Der Graph von $f$ lässt vermuten, dass $f$ genau zwei Wendepunkte hat.

Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb

Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen

Die Wendepunkte von $f$ (bzw. die Hoch- und Tiefpunkte von $f'$) liegen an den Nullstellen der Ableitungsfunktion $f''$. Diese Nullstellen müssen zunächst bestimmt werden.

Aufgabe 1

Bestimme $f''(x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

$f''(x) = \frac{1}{27}x^2 - \frac{10}{27}x + \frac{16}{27}$

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstellen von $f''(x)$ - z.B. mit dem folgenden Gleichungstool.

Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb

Gib den Funktionsterm von $f''(x)$ in das Eingabefeld der Hilfsfunktion $h(x)$ ein. Aktiviere dann den Button [Nullstellen der Funktion].

Schritt 2: Zwischenwerte als Testwerte nutzen

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob an den Nullstellen von $f''$ tatsächlich Wendepunkte vorliegen. Wir nutzen das folgende hinreichende Kriterium: Wenn $f''$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.

Aufgabe 3

(a) In der folgenden Tabelle sind bereits etliche Einträge zu finden. Erkläre zunächst diese Einträge.

(b) Ergänze die fehlenden Einträge. Benutze für das Intervall $8 \text{ < } x \text{ < } \infty$ einen geeigneten Testwert.

Stelle / Intervall $f''(x)$ Vorzeichenwechsel Eigenschaften von $f'$ und $f$
$-\infty \text{ < } x \text{ < } 2$ $f''(0) = 1$
$f''(x) > 0$
$f'$ ist streng monoton steigend
Graph $f$ beschreibt eine Linkskurve
$x = 2$ $f''(2) = 0$ $+/-$ VZW $f'$ hat einen Hochpunkt
$f$ hat einen Wendepunkt
$2 \text{ < } x \text{ < } 8$ $f''(5) = -1/2$
$f''(x) \text{ < } 0$
$f'$ ist streng monoton fallend
Graph $f$ beschreibt eine Rechtskurve
$x = 8$
$8 \text{ < } x \text{ < } \infty$

Schritt 3: Die $y$-Koordinaten bestimmen

Du weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten dieser Punkte.

Aufgabe 4

Bestimme die $y$-Koordinaten der Wendepunkte. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Zur Berechnung der $f(x)$-Werte kann du deinen Taschenrechner oder das folgende Applet oben (mit den passenden Eingaben) nutzen.

Kontrolliere deine Ergebnisse am gezeigten Graph oben.

Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb

Aufgabe 5

Notiere dir die gewählte Vorgehensweise im Wissensspeicher.

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