i

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Krümmung

Auf das Vorzeichen der 2. Ableitung achten

Die Wendepunkte der Ausgangsfunktion $f$ entsprechen den Hoch- und Tiefpunkten der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$. Wir können daher hinreichende Kriterien für Hoch- und Tiefpunkte nutzen, um entsprechende Kriterien für Wendepunkte zu gewinnen.

Das Applet zeigt eine Situation, in der im oberen Fenster die Ausgangsfunktion $f$ dargestellt ist. Im unteren Fenster ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f'$ (gestrichelt) sowie der Ableitungsfunktion $f''$ dargestellt.

Zum Herunterladen: hinreichendebedingungwendepunkte.ggb

Aufgabe 1

Wir betrachten zuerst die Krümmungseigenschaften von Graph $f$. Ergänze in der Tabelle die fehlenden Begriffe (streng monoton steigend, streng monoton fallend, Linkskurve, Rechtskurve).

Eigenschaft von $f''$
(hinreichende Bedingung)
$\Rightarrow$ Eigenschaft von $f'$ $\Rightarrow$ Eigenschaft von $f$
$f''$ ist positiv im Intervall $I$ $\Rightarrow$ $f'$ ist im Intervall $I$
...
$\Rightarrow$ Graph $f$ beschreibt im Intervall $I$
...
$f''$ ist negativ im Intervall $I$ $\Rightarrow$ $f'$ ist im Intervall $I$
...
$\Rightarrow$ Graph $f$ beschreibt im Intervall $I$
...

Aufgabe 2

Hier geht es um eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte.

(a) Ergänze in der Tabelle die fehlenden Begriffe.

Eigenschaft von $f''$
(hinreichende Bedingung)
$\Rightarrow$ Eigenschaft von $f'$ $\Rightarrow$ Eigenschaft von $f$
$f''$ hat an der Stelle $x$
eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel
$\Rightarrow$ $f'$ hat an der Stelle $x$
...
$\Rightarrow$ $f$ hat an der Stelle $x$
...

(b) Formuliere die gefundene hinreichende Bedingung im Wissensspeicher.

Höhere Ableitungen berücksichtigen

Eine weitere hinreichende Bedingung für Wendepunkte erhält man, wenn man eine Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte mit höheren Ableitung überträgt.

Aufgabe 3

(a) Ergänze in der Tabelle die fehlenden Begriffe.

Eigenschaft von $f''$ und $f'''$
(hinreichende Bedingung)
$\Rightarrow$ Eigenschaft von $f'$ $\Rightarrow$ Eigenschaft von $f$
$f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$ $\Rightarrow$ $f'$ hat an der Stelle $x$
...
$\Rightarrow$ $f$ hat an der Stelle $x$
...

(b) Formuliere die gefundene hinreichende Bedingung im Wissensspeicher.

Suche

v
2.3.4.2.1.3
o-mathe.de/differentialrechnung/funktionsuntersuchungen/wendepunkte/kriterien/lernstrecke/hinreichendebedingungen
o-mathe.de/2.3.4.2.1.3

Rückmeldung geben