Bestimmung von Wendepunkten mit höheren Ableitungen
Die Ausgangssituation
Wir betrachten folgendes Problem.
geg.: $f(x) = \frac{1}{324}x^4 - \frac{5}{81}x^3 + \frac{8}{27}x^2 - \frac{7}{162}x + \frac{109}{81}$
ges.: Wendepunkte von $f$
Der Graph von $f$ lässt vermuten, dass $f$ genau zwei Wendepunkte hat.
Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb
Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen
Die Wendepunkte von $f$ (bzw. die Hoch- und Tiefpunkte von $f'$) liegen an den Nullstellen der Ableitungsfunktion $f''$. Diese Nullstellen müssen zunächst bestimmt werden.
Aufgabe 1
Bestimme $f''(x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.
$f''(x) = \frac{1}{27}x^2 - \frac{10}{27}x + \frac{16}{27}$
Aufgabe 2
Bestimme die Nullstellen von $f''(x)$ - z.B. mit dem folgenden Gleichungstool.
Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb
Gib den Funktionsterm von $f''(x)$ in das Eingabefeld der Hilfsfunktion $h(x)$ ein. Aktiviere dann den Button [Nullstellen der Funktion].
Schritt 2: Die dritte Ableitung zur Entscheidung nutzen
Wir nutzen das folgende hinreichende Kriterium: Wenn $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
Aufgabe 3
Bestimme zunächst $f'''(x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.
$f'''(x) =\frac{2}{27}x - \frac{10}{27}$
Aufgabe 4
Benutze die 3. Ableitung $f'''$, um Entscheidungen darüber zu treffen, ob an den Nullstellen von $f''$ Wendepunkte vorliegen. Ergänze hierzu die Einträge in der Tabelle.| Stelle | $f''(x)$ | $f'''(x)$ | Eigenschaft von $f$ |
| $x = 2$ | $f''(2) = 0$ | $f'''(2) = -2/9 \neq 0$ | Wendepunkt |
| $x = 8$ |
Schritt 3: Die $y$-Koordinaten bestimmen
Du weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten dieser Punkte.
Aufgabe 5
Bestimme die $y$-Koordinaten der Sattelpunkte. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Zur Berechnung der $f(x)$-Werte kann du deinen Taschenrechner oder das folgende Applet oben (mit den passenden Eingaben) nutzen.
Kontrolliere deine Ergebnisse am gezeigten Graph oben.
Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb
Aufgabe 6
Notiere dir die gewählte Vorgehensweise im Wissensspeicher bzw. ergänze deine Notizen von der vorherigen Seite.
