Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums

Hoch-, Tief- und Sattelpunkte einer Funktion bestimmen

Wir nutzen hier die Vorzeichenwechselkriterien, um die Hoch-, Tief- und Sattelpunkte einer Funktion zu bestimmen.

Aufgabe 1

Erkläre (mit Hilfe der notwendigen Bedingungen), warum man zunächst die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f'$ bestimmen sollte.

Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen

In einem ersten Schritt werden jetzt die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f'$ bestimmt.

Aufgabe 2

Bestimme $f'(x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.

Kontrolle

Aufgabe 3

(a) Bestimme die Nullstellen von $f'(x)$ mit dem folgenden Gleichungstool.

Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb

Gib den Funktionsterm von $f'(x)$ in das Eingabefeld der Hilfsfunktion $h(x)$ ein. Aktiviere dann den Button [Nullstellen der Funktion].

(b) Begründe:

• $f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1)$
• $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^2 = 0$ oder $x^2 = 4$
• $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$

Schritt 2: Zwischenwerte als Testwerte nutzen

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob bzw. welche Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von $f'$ vorliegen.

Stelle / Intervall	$f'(x)$	Vorzeichenwechsel	Eigenschaft von $f$
$-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$	$f'(-4) = 48$ $f'(x) > 0$		streng monoton steigend
$x = -2$	$f'(-2) = 0$	$+/-$ VZW	Hochpunkt
$-2 \text{ < } x \text{ < } 0$	$f'(-1) = -3/4$ $f'(x) \text{ < } 0$		streng monoton fallend
$x = 0$
$0 \text{ < } x \text{ < } 2$
$x = 2$
$2 \text{ < } x \text{ < } \infty$

Aufgabe 4

(a) In der Tabelle sind bereits etliche Einträge zu finden. Erkläre zunächst die Einträge in der 1. Spalte. Warum wird genau diese Unterteilung hier betrachtet?

(b) Als Testwert im Intervall $-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$ wird der $x$-Wert $x = -4$ betrachtet. Wenn man $f'(-4)$ ausrechnet, erhält man als Ergebnis die Zahl $48$. Prüfe das nach. Warum kann man jetzt aus diesem Ergebnis erschließen, dass $f$ im gesamten Intervall $-\infty \text{ < } x \text{ < } -2$ streng monoton steigend ist?

(c) Erkläre, wie man zu dem Ergebnis kommt, dass $f$ an der Stelle $x = -2$ einen Hochpunkt haben muss.

Aufgabe 5

Ergänze die fehlenden Einträge in der Tabelle. Nutze geeignete Testwerte in den Intervallen, um das jeweilige Vorzeichen von $f'$ in diesen Intervallen herauszufinden. Zur Berechnung der $f'(x)$-Werte kann du deinen Taschenrechner oder das folgende Applet nutzen.

Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb

Hinweis: Gib im Applet zuerst den Funktionsbezeichner $f'$ in das Eingabefeld über der Box ein. Gib anschließend den Funktionsterm von $f'(x)$ in das Eingabefeld in der Mitte der Box ein. Danach kannst du jeweils deine $x$-Werte eingeben.

Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen

Du weißt jetzt, an welchen Stellen Hoch-, Tief- und Sattelpunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten der Punkte.

Aufgabe 6

Bestimme die $y$-Koordinaten des Hoch-, Tief- und Sattelpunktes. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Zur Berechnung der $f(x)$-Werte kann du deinen Taschenrechner oder das Applet oben (mit den passenden Eingaben) nutzen.

Schritt 4: Graph $f$ skizzieren

Du hast jetzt sehr viel Information über Eigenschaften der Funktion $f$ gesammelt.

Aufgabe 7

(a) Nutze die gewonnene Information über $f$, um Graph $f$ auf Papier zu skizzieren.

(b) Kontrolliere deine Skizze, indem du passende Daten im Applet eingibst. Beachte, dass du auch für xMin und xMax geeignete Zahlen wählst.

Zum Herunterladen: plotter2.ggb