Vorzeichenwechselkriterium
Aufgabe 1
Gegeben ist eine Tabelle mit Eigenschaften von $f'$. Gesucht sind die zugehörigen Eigenschaften von $f$ und eine Skizze eines passenden Graphen.
(a) Vervollständige die Tabelle und zeichne einen passenden Graph $f$ mit diesen Eigenschaften.
| Stelle / Intervall | $f'(x)$ | Vorzeichen/VZW | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } -1$ | $f'(x) > 0$ | $+$ | $f$ streng monoton wachsend |
| $x = -1$ | $f'(-1) = 0$ | VZW von $+$ zu $-$ | Hochpunkt |
| $-1 \text{ < } x \text{ < } 4$ | $f'(x) \text{ < } 0$ | $-$ | |
| $x = 4$ | $f'(4) = 0$ | ||
| $4 \text{ < } x \text{ < } \infty$ | $f'(x) > 0$ |
(b) Fülle die Lücken in der Tabelle und zeichne einen passenden Graph $f$ mit diesen Eigenschaften.
| Stelle / Intervall | $f'(x)$ | Vorzeichen/VZW | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } 0$ | $f'(x) \text{ < } 0$ | ||
| $x = 0$ | $f'(0) = 0$ | ||
| $0 \text{ < } x \text{ < } 2$ | $f'(x) > 0$ | ||
| $x = 2$ | $f'(0) = 0$ | ||
| $2 \text{ < } x \text{ < } 4$ | $f'(x) > 0$ | ||
| $x = 4$ | $f'(0) = 0$ | ||
| $4 \text{ < } x \text{ < } \infty$ | $f'(x) > 0$ |
Aufgabe 2
Die Abbildung zeigt Information über die Ableitungsfunktion $f'$. Die Funktion $f'$ soll nur die in der Abbildung zu sehenden Nullstellen haben.
Erschließe aus dieser Information über $f'$ Eigenschaften von $f$. Begründe jeweils.
Aufgabe 3
Gegeben ist $f'$ mit
- Version A: $f'(x) = x \cdot (x-4)$
- Version B: $f'(x) = 12x^2 \cdot (x-1)$
Ziel ist es jeweils, Graph $f$ zu skizzieren.
(a) Bestimme die Nullstellen von $f'$ - die kann man hier direkt ablesen - und ermittle mit passenden Kriterien die Monotonieeigenschaften von $f$ sowie die genauen Koordinaten der Hoch-, Tief- und Sattelpunkte von $f$. Stelle die Überlegungen in einer Übersicht dar.
| Stelle / Intervall | $f'(x)$ | Vorzeichen/VZW | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } 0$ | $f'(...) = ...$ | ||
| $x = 0$ | $f'(0) = ...$ | ||
| $-\infty \text{ < } x \text{ < } ...$ | |||
| $x = ...$ | |||
| $... \text{ < } x \text{ < } \infty$ |
Zur Ausführung von Berechnungen kannst du den folgenden Funktionswerteberechner nutzen.
Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb
(b) Zur Kontrolle soll Graph $f$ mit einem Plotter gezeichnet werden. Bestimme einen Funktionsterm für $f(x) = ...$, so dass $f'(x) = x \cdot (x-4) = x^2 - 4x$ (für Version A) bzw. $f'(x) = 12x^2 \cdot (x-1) = 12x^3 - 12x^2$ (für Version B) gilt. Du musst hierzu die Funktion $f'$ "aufleiten". Gib dann die Funktion $f$ mit einem passenden Bereich in den Plotter ein.
Zum Herunterladen: plotter2.ggb
