Notwendige Bedingung für Wendepunkte
Einen Zusammenhang präzise formulieren
Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f'$ unf $f''$ in einem bestimmten Bereich verlaufen. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um Graph $f'$ und Graph $f''$ zu erzeugen.
| Situation 1 | Situation 2 | Situation 3 | Situation 4 |
| $f$ hat ... | ... | ... | ... |
| $f'$ hat | ... | ... | ... |
| $f''$ hat | ... | ... | ... |
Aufgabe 1
Ergänze in der Tabelle in den unteren Zeilen die folgenden Aussagen, so dass sie zur jeweiligen Situation passen. Beachte, dass einige Aussagen mehrfach verwendet werden müssen.
- $f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt.
- $f'$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.
- $f'$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.
- $f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle.
Aufgabe 2
Mit dem Wissen über Hoch- und Tiefpunkte kann man jetzt eine notwendige Bedingung für Wendepunkte formulieren. Ergänze hierzu die Einträge in der Tabelle.
| Eigenschaft von $f$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f'$ | $\Rightarrow$ | Eigenschaft von $f''$ (notwendige Bedingung) |
|
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt. |
$\Rightarrow$ |
$f'$ hat an der Stelle $x$ ... |
$\Rightarrow$ |
$f''$ hat an der Stelle $x$ ... |
Aufgabe 3
Formuliere die notwendige Bedingung für Wendepunkte auch als Wenn-Dann-Aussage.
Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Wendepunkt hat, dann ...
Aufgabe 4
Übertrage die gefundene notwendige Bedingung in den Wissensspeicher.
