Hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Krümmung

Das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion berücksichtigen

Die Wendepunkte der Ausgangsfunktion $f$ entsprechen den Hoch- und Tiefpunkten der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$. Wir können daher hinreichende Kriterien für Hoch- und Tiefpunkte nutzen, um entsprechende Kriterien für Wendepunkte zu gewinnen.

Das Applet zeigt eine Situation, in der im oberen Fenster die Ausgangsfunktion $f$ dargestellt ist. Im unteren Fenster ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktionen $f'$ (gestrichelt) sowie der Ableitungsfunktion $f''$ dargestellt.

Zum Herunterladen: hinreichendebedingungwendepunkte.ggb

Es ergeben sich die folgenden - anschaulich plausiblen - Zusammenhänge:

Eigenschaft von $f''$ (hinreichende Bedingung)	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f'$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f''$ ist positiv im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f'$ ist im Intervall $I$ streng monoton steigend	$\Rightarrow$	Graph $f$ beschreibt im Intervall $I$ eine Linkskurve
$f''$ ist negativ im Intervall $I$	$\Rightarrow$	$f'$ ist im Intervall $I$ streng monoton fallend	$\Rightarrow$	Graph $f$ beschreibt im Intervall $I$ eine Rechtskurve

Für Wendepunkte erhält man analog folgende Zusammenhänge.

Eigenschaft von $f''$ (hinreichende Bedingung)	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f'$	$\Rightarrow$	Eigenschaft von $f$
$f''$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel	$\Rightarrow$	$f'$ hat an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt	$\Rightarrow$	$f$ hat an der Stelle $x$ einen Wendepunkt

Man erhält somit das folgende Vorzeichenwechselkriterium für Wendepunkte.

Bestimmung von Wendepunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium

Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.

Zum Herunterladen: bestimmungwendepunkte.ggb

Schritt 1: Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion bestimmen

In Schritt 1 werden die Überlegungen aus dem letzten Abschnitt wiederholt.

Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f''$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Wendepunkt vorliegen.

Die Ableitungsfunktion $f''(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln. Es gilt:

$f'(x) = \frac{1}{81}x^3 - \frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{2}x$

$f''(x) = \frac{1}{27}x^2 - \frac{2}{9}x$

Zur Bestimmung der Nullstellen von $f''$ muss die Bedingung $f''(x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:

$f''(x) = x \cdot (\frac{1}{27}x - \frac{2}{9})$

Aus dieser Produktdarstellung von $f''(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:

• $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $\frac{1}{27}x - \frac{2}{9} = 0$
• $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = 6$

Die kritischen Stellen für Wendepunkte sind demnach $x = 0$ und $x = 6$. Ob an diesen Stellen tatsächlich Wendepunkte vorliegen, lässt sich ohne weitere Informationen nicht klären.

Schritt 2: Zwischenwerte als Testwerte nutzen

Jetzt geht es darum herauszufinden, ob Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von $f''$ vorliegen.

Stelle / Intervall	$f''(x)$	Vorzeichenwechsel	Eigenschaft von $f$
$-\infty \text{ < } x \text{ < } 0$	$f''(-3) = 1$ $f''(x) > 0$		Linkskurve
$x = 0$	$f''(0) = 0$	VZW	Wendepunkt
$0 \text{ < } x \text{ < } 6$	$f''(3) = -1/3$ $f''(x) \text{ < } 0$		Rechtskurve
$x = 6$	$f''(0) = 0$	VZW	Wendepunkt
$6 \text{ < } x \text{ < } \infty$	$f''(9) = 1$ $f''(x) > 0$		Linkskurve

Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen

Man weißt jetzt, an welchen Stellen Wendepunkte vorliegen. Es fehlen aber noch die $y$-Koordinaten dieser Punkte.

Zur Bestimmung der $y$-Koordinaten der betreffenden Punkte setzt man den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein.

$f(0) = 2$: Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(0|2)$.

$f(6) = 1$: Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten $(6|1)$.

Schritt 4: Die Steigung im Wendepunkt bestimmen

Um zu entscheiden, ob die Wendepunkte Sattelpunkte sind, berechnen wir die Steigungen in den Wendepunkten.

Wendepunkt $(0|2)$: Es gilt $f'(0) = 1/2$. Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.

Wendepunkt $(6|1)$: Es gilt $f'(6) \approx -0.83$. Der Wendepunkt ist also kein Sattelpunkt.